7. Ciągi i szeregi funkcyjne

przy czym znak wybieramy tak, aby pomiędzy 4”'x i 4^m(x+<5_m) nie znajdowała się żadna liczba całkowita. Można to zrobić, bo 4^m|<5J = i- Określmy

_ cp(4ⁿ(x+ y{4ⁿx)

^y"    Ę, '

Jeżeli n > m, to 4"S_m jest liczbą parzystą, i wobec tego y„ = 0. Jeżeli 0 < n < m, to (36) implikuje, że |y„| < 4".

Ponieważ jyj = 4”, więc wynika stąd, że

n=0    Jt = 0

przy m-+oo, S„~* 0. Wynika stąd, że / nie jest różniczkowalna w x.

2^3" = i(3"+l),

Rodziny funkcji jednakowo ciągłych

Z twierdzenia 3.6 wynika, że każdy ciąg ograniczony liczb zespolonych zawiera podciąg zbieżny. Powstaje wobec tego pytanie, czy jakieś podobne twierdzenie zachodzi dla ciągu funkcyjnego. W celu uściślenia tego pytania określimy dwa rodzaje ograniczoności.

7.19. DEFINICJA. Niech {/„} będzie ciągiem funkcji określonych na zbiorze £.

Powiemy, że ciąg {f„} jest punktowo ograniczony na E, jeśli dla każdego x ciąg {/„ (x)} jest ograniczony, tj. jeżeli istnieje funkcja <p przyjmująca wartości rzeczywiste skończone, określona na E, taka że

I/, (x)j < (p(x) (xeE, n= 1,2, 3,...).

Powiemy, że ciąg {/} jest jednostajnie ograniczony na zbiorze E, jeżeli istnieje taka liczba M, że

|/„(jc)| < M (xeE,n= 1,2,3,...).

Jeżeli ciąg {f_M} jest punktowo ograniczony na zbiorze E, a E_t jest przeliczalnym podzbiorem zbioru E, to zawsze można wybrać z niego podciąg {/„_t} taki, że ciąg {/„,(*)} będzie punktowo zbieżny dla xeE_i. Podciąg ten można wybrać metodą przekątniową, którą posłużymy się przy dowodzie twierdzenia 7.23.

Jednakże nawet w przypadku, gdy ciąg \f„) jest jednostajnie ograniczony, a zbiór £ jest zwarty i funkcje /„ są ciągłe, może nie istnieć podciąg zbieżny punktowo na zbiorze E. W przytoczonym poniżej przykładzie dowód przeprowadzony za pomocą środków, jakimi teraz dysponujemy, byłby bardzo uciążliwy. Jeżeli jednak skorzystamy z twierdzenia z rozdziału 11, to dowód okaże się zupełnie prosty.

7.20. Przykład. Niech

f„{x) = sin nx (0 < x < 2n, n — 1, 2, 3,...).