CCF20090120068

To umożliwia nam znalezienie wyrażenia, według którego ułożony został ciąg liczb 1, 3, 7, 13 i!td. Zbiór ten, jak już widzieliśmy, pozwala ułożyć tabelę zawierającą (do wystąpienia zer) tylko trzy wiersze. A zatem w wyrażeniu poszukiwanym najwyższą potęgą, w jakiej występuje x, jest x². Musi ono zawierać pewną liczbę x², pewną liczbę x i jakąś liczbę dodaną. W zapisie algebraicznym wyrażenie to ma postać ax²+ + bx+c, gdzie a oznacza liczbę stojącą przed x², b— liczbę przed x, zaś, c — liczbę, którą należy do tego dodać. (Tak (więc, w wyrażeniu „5x² + + 3x — 2”, a wynosi 5, b jest 3, zaś c równa się —2.) Nie wiemy jeszcze, jakie powinny być a, b i c w naszym przykładzie. Wiemy tylko, że aby znaleźć właściwe wyrażenie, wystarczy znaleźć odpowiednie wartości dla a, b i c. Rzecz jasna, to jest już znacznym ułatwieniem. Przystępując do rozwiązania zagadnienia, liczyliśmy się z możliwością wystąpienia wszelkich możliwych wyrażeń; mogłoby to być x^Jr2^x albo x⁹, albo coś jeszcze gorszego.

Jeśli wiemy już, że szukany wzór jest typu ax²+bx + c, znalezienie a, b i c pójdzie nam łatwo. Wiemy bowiem, że jeśli do właściwego wzoru podstawimy w miejsce x kolejno wartości 0, 1, 2, 3 itd., to wyniki równać się będą odpowiednio 1, 3, 7, 13 itd.

Jeśli'do wzoru ax²+bx + c w miejsce x podstawimy 0, otrzymamy wartość c. Podstawiając x — 1, otrzymamy a+b + c. Podstawiając x = 2, otrzymamy 4a+2b+e. (Jeśli ktoś chce, może wyrazić to słownie, mówiąc, że 4a oznacza „cztery razy wziętą liczbę, która we wzorze stoi przed x²” itd.)

Teraz możemy zestawić ze sobą otrzymane wyniki. Jeśli y dane jest wzorem ax²+bx+c, to y(0) = c. Ale 2/(0), tj. wartość y odpowiadająca x = 0, wynosi 1. Stąd c musi być równe 1. Dalej ze wzoru otrzymujemy, żey( 1) — a+b + c.

Ale y( 1) = 3. Wobec tego musimy dla a, b i c dobrać takie wartości, aby a+b + c = 3. Podobnie, z porównania wzoru na y(2) z wartością odpowiedniego wyrazu w ciągu liczbowym stanowiącym nasz punkt wyjścia otrzymamy równanie 4a+2b + c = 7. Razem mamy trzy równania:

c = 1 a+ b + c = 3 4a+2b + c — 7

To zaś jest zupełnie podobne do rozpatrywanego już problemu ciastek, bułeczek i filiżanki herbaty. Łatwo możemy znaleźć rozwiązanie, posługując się metodą opisaną w rozdz. 7. Otrzymamy w rezultacie: a — 1, b — 1, c — 1. Stąd poszukiwane przez nas wyrażenie mą postać y = — x^{t J}rx+1. Taki właśnie jest wzór, według którego ułożony został pierwotny zbiór liczb.

Dział matematyki, znany pod imponującą nazwą „rachunku różnic skończonych”, rozwija dalej stosowaną tu przez nas metodę i dostarcza dowodu na jej poprawność.

Dla wygody uznano za celowe wprowadzenie pewnych skrótów. Dotąd mówiliśmy o „drugim wierszu tabeli”, „trzecim wierszu” itd. Aby tego uniknąć, na oznaczenie poszczególnych wierszy wprowadzono pewnie symbole. Pierwszy wiersz (ten, który w naszym ostatnim przykładzie zawiera! liczby 1, 3, 7, 13...) już oznaczyliśmy jako y. Wiersz drugi (w tym przykładzie zbiór liczb 2, 4, 6, 8...) nazywamy Ay. Symbol A stanowi skrót wyrażenia „zmiana wartości”. Ponieważ każdy kolejny wiersz przedstawia zmiany zachodzące w wartości wyrazów wiersza poprzedniego, wobec tego z każdym przejściem do niższego wiersza dodajemy o jeden znak A więcej. Na przykład, wiersz trzeci wyraża zmiany w wartości Ay i wobec tego możemy go zapisać AAy. Proszę zapamiętać, że A nie zastępuje żadnej określonej liczby, jak a, b i inne litery. A oznacza zmianą wartości i nic poza tym. Zawsze

139