CCF20090120082

10

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY, CZYLI BADANIE PRĘDKOŚCI

„Gdy byłem uczniem, chciałem zapoznać się z teorią zagadnień techniki; jedyne dwie dostępne dla mnie książki zawierały nie znane symbole matematyczne... Inni chłopcy mogli wzdychać do luksusów, a ja chcia-

łem tylko poznać sens symboli —j~ i X. Patrząc wstecz

mam wrażenie, że iprzez całe lata pragnąłem poznać stosowanie tych symboli”.

John Perry

Jednym z najpowszechniejszych słów życia współczesnego jest „prędkość”. Jest więc rzeczą naturalną, że matematycy, mający swój udział w znacznej części naukowego i przemysłowego postępu, na którym opiera się współczesne życie, musieli stworzyć specjalne symbole dla opisu prędkości i specjalną dziedzinę zajmującą się stosowaniem tych symboli. Podobnie jak producenci specyfików farmaceutycznych, matematycy nie mogli oprzeć się pokusie szumnej nazwy. Wspomniana dziedzina nosi nazwę rachunku różniczkowego.

W każdym zagadnieniu dotyczącym rzeczy, które poruszają się lub rosną, albo zmieniają się, można zetknąć się z symbolami rachunku różniczkowego. Nawet w przypadkach, w których — jak się zdaje — nic się nie porusza, pojawiają się te symbole. Mówimy, że droga „nagle” zakręca; możemy badać, jak „szybko” zmie-

nia się kierunek linii kolejowej. Ani droga, ani linia kolejowa w ogóle nie poruszają się. Coś jednak mamy na uwadze, gdy wygłaszamy takie zdania. Słów używanych początkowo dla opisu ruchu — „szybko”, „nagle” — możemy używać do opisu obiektów pozostających w bezruchu. Tak samo ma się rzecz z symbolami, które w rozważaniach matematycznych zastępują słowa. Ich także można używać do opisu krzywej, jaką tworzy droga, linia kolejowa dtp.

Rachunek różniczkowy jest więc dziedziną, którą można stosować do wszystkiego, co się porusza lub ma pewien określany kształt, albo zmienia się. Jest ona użyteczna przy studiach nad wszelkiego rodzaju mechanizmami, przy rozwiązywaniu zagadnień 'Oświetlenia elektrycznego i sieci radiowej, problemów ekonomii i ubezpieczeń. Przez dwieście lat po odkryciu rachunku różniczkowego postęp w matematyce polegał głównie na jego stosowaniu. Bardzo mało naprawdę nowych idei weszło od tej pory do matematyka *. Gdy tylko pojmie się podstawowe idee rachunku różniczkowego, bez większego trudu można przystąpić do rozwiązywania całej masy problemów. Jest to dziedzina, której naprawdę warto się nauczyć.

PROBLEM PODSTAWOWY

Oto podstawowy problem rachunku różniczkowego: mamy regułę. pozwalającą wyznaczyć, gdzie znajduje Się pewien obiekt w dowolnej

* Od czasu pierwszego wydania oryginału tej książki (1943 r.) nastąpił olbrzymi rozwój matematyki, do której wprowadzono wiele nowych idei. Zresztą, nawet w 1943 r. ostatnie dwa zdania autora uznałbym za kontrowersyjne. Natomiast za całkowicie słuszne uważam następne dwa zdania tego podrozdziału (przyp. tłum.).

167