CCF20090120084

Jednakże tą samą metodą możemy osiągnąć dowolną dokładność szukanej liczby. Jeżeli rozpatrzymy setną część sekundy tuż przed pierwszą sekundą i setną część sekundy tuż po pierwszej sekundzie, to okaże się, że szukana prędkość leży pomiędzy 1,99 i 2,01 stopy na sekundę. Jeżeli zamiast setnej części rozpatrzymy tysięczną część sekundy, to stwierdzimy, że szukana prędkość leży pomiędzy 1,999 i 2,001. A nic nie stoi na przeszkodzie, abyśmy rozpatrzyli milionową czy bilionową część sekundy. Tylko jedna prędkość spełnia wszystkie te warunki — prędkość 2 stóp :na sekundę. I to jest odpowiedź na nasze pytanie.

W ten sam sposób znajdziemy prędkość po upływie 2 sekund. Mamy następującą małą tabelę:

Tabela 9

cc    1,9    2    2,1

y    3,61    4    4,41

z której wynika, że prędkość po upływie 2 sekund zawarta jest między 3,9 i 4,1. W rzeczywistości prędkość ta wynosi 4 stopy na sekundę.

Tak można wyznaczyć prędkość po upływie dowolnego czasu. Wyniki zebrane są w tab. 10.

Tabela 10

Czas w sekundach    0 1 2 3 4 5 6

Prędkość (w stopach na sek) 0 2 4 6 8 10 12

Z tabeli tej łatwo wyznaczyć ogólną regułę. Po upływie x sekund prędkość kamienia wynosi 2x.

Dość łatwo można znaleźć tą „eksperymentalną” metodą wzory dla innych ruchów. Najpierw znajdujemy prędkości odpowiadające liczbom całkowitym: 1, 2, 3, 4, 5, 6 itd.; następnie {metodą wyjaśnioną w rozdz. 8) próbujemy znaleźć wzór, który pasowałby do tego zbioru liczb, i podajemy regułę znalezienia prędkości po upływie x sekund. W ten sposób potrafimy przynajmniej zgadnąć odpowiedź; aby dowieść jej poprawności, trzeba użyć algebry.

Czytelnik potrafi chyba samodzielnie znaleźć prędkości odpowiadające wzorom y = x³, y = — x⁴, y = x⁵, y — x⁶ itd. Po wykonaniu tego zadania dla y — x³ i y = x⁴ łatwo zauważyć, jak proste są odpowiedzi. To sugeruje, że odpowiedzi dla y ~ x⁵ i y — x⁶ będą także proste i pomogą skrócić pracę prowadzącą do wykrycia reguły. Szukanie jej metodą opisaną w rozdz. 8, bez korzystania z powyższej sugestii, byłoby raczej długie i żmudne. Jeżeli to możliwe, Czytelnik powinien samodzielnie znaleźć odpowiedzi dla podanych wyżej przypadków, nie patrząc na wyniki zebrane w tabeli. Samodzielne otrzymanie tych wyników, bez potrzeby zaglądania do jakiegokolwiek podręcznika, powinno sprawić Czytelnikowi satysfakcję.

Wyniki, jakie powinniśmy otrzymać, zostały podane w tab. 11.

Tabela 11

Wzór na prędkość po upływie x sek

2x

3x2

4x³

5x4

6x⁵

Wzór na odległość przebytą w ciągu x sek

y — x² y = x³ V = x⁴ y = x⁵ y — x⁶

Jest oczywiste, że wyniki te można b}^T otrzymać za pomocą prostej reguły. Gdy w pierwszej kolumnie mamy x³, to w drugiej kolumnie mamy wyrażenie zawiera jące x²; naprzeciw x⁴ jest pewna wielokrotność x³. Wykładnik potęgi wielkości x w drugiej kolumnie jest zawsze o jedność mniejszy niż odpowiedni wykładnik w pierwszej kolumnie. Naprzeciw xⁿ będzie znaj-

171