CCF20090120101

wtedy należy zabrać się do studiowania nowoczesnego podejścia do tego przedmiotu, znanego pod nazwą analizy matematycznej.

Istnieją także inne powody stosowania prędkości dokładnej. Po pierwsze, praktycy nie są zgodni co do tego, jaką najmniejszą wielkość należy rozpatrywać. Stolarz musi uwzględniać setne części cm, inżynier tysiączne, a naukowiec części milionowe, gdy bada bakterie, atomy, promienie światła. Dla inżyniera budującego lokomotywy jedna setna sekundy to mały odstęp czasu; dla inżyniera zajmującego się radiem, który operuje milionami cykli na sekundę, jedna setna sekundy to wieczność. Matematyk „czysty”, z którego wyników korzysta każdy z tych ludzi, może być pewien, że zadowoli każde żądanie tylko wówczas, gdy poda wynik dokładny.

Ponadto, wynik dokładny jest często prostszy niż wynik przybliżony. Badając prędkość ciała poruszającego się zgodnie z wzorem y — x² znaleźliśmy kilka wyników przybliżonych. Znaleźliśmy np., że prędkość po upływie jednej sekundy zawarta jest pomiędzy 1,99 i 2,01. Przypuśćmy, iż na tym poprzestaliśmy i uznaliśmy, że 2,01 jest wystarczająco dobrą odpowiedzią. Wynik ten jest bardziej skomplikowany niż wartość dokładna: 2. Gdybyśmy przez cały czas traktowali jedną setną sekundy jako czas dostatecznie krótki dla naszych celów, to doszlibyśmy do wzoru przybliżonego y' ~ 2x4-0,01. Jest on bardziej skomplikowany niż odpowiedź dokładna: y — 2x. Nawet inżynierowie przyjmują 2x jako prędkość odpowiadającą wyrażeniu x². Prostsza odpowiedź wymaga bardziej skomplikowanej definicji.

Jak więc widzimy, umiłowana przez matematyków „czystych” ścisłość ma mocne uzasadnienie praktyczne. Ale to tylko jedna strona zagadnienia. Istnieje wiele przypadków, w których ogólne, szkicowo sformułowane pojęcie jest bardzo użyteczne. Często ogólna idea problemu umożliwia mam zrozumienie go i znalezienie sposobu rozwiązania. Nasza odpowiedź może być niedokładna, może różnić się od dokładnej o kilka milionowych, ale wystarczy ona do uchwycenia ogólnej metody rozwiązania. Możemy następnie jeszcze raz powtórzyć całą procedurę, precyzując każdy jej krok, aż uzyskamy odpowiedź dokładną. Albo też możemy zadowolić się przybliżanym rozwiązaniem zagadnienia. Wiele zadań, trudnych przy stosowaniu metod ścisłych, rozwiązuje się metodami przybliżonymi. Odpowiedzi są wtedy poprawne np. do drugiego (czy dalszego) miejsca po przecinku, co może być wystarczające dla danego celu.

PRZYKŁADY METOD PRZYBLIŻONYCH

Przypuśćmy np., że mamy znaleźć (czyli y')

dx

odpowiadające wzorowi y = log x. Jest to nowy problem. Wiemy, jak postępować z wyrażeniami zbudowanymi z potęg zmiennej x, ale log a: nie należy do tego prostego typu. Co więc należy robić?

Uczniowie, którzy nauczyli się tylko rozwiązywać proste zadania za pomocą metod podręcznikowych, są oczywiście bezradni w obliczu zagadnienia nowego rodzaju. Tacy uczniowie po prostu siedzą i nic nie robią. Spodziewam się, że Czytelnicy nie znajdą się w tej sytuacji, że będą wiedzieli, jak szukać rozwiązania tego nowego problemu.

Czy wiemy, co to jest log a:? Jeżeli Czytelnik miał trudności z rozdz. 6, to nie ma sensu czytanie dalszych rozważań niniejszego rozdziału. Absurdem byłoby oczekiwać, że bez jasnego obrazu znaczenia logarytmu można poprawnie rozumować na temat prędkości wzrostu wyrażenia log x. Jeżeli to jest konieczne, Czytelnik powinien ponownie przeczytać rozdz. 6. Należy sporządzić tabelę logarytmów oraz wykres dla ilustracji wzoru y — log x. (Przez log x rozumiemy tutaj najczęściej stosowany logarytm dziesiętny. Pełny jego zapis jest następujący: logio#. Oznacza to — używając języka

205