CCF20090120110

jest gałęzi nauki i techniki (o ile w ogóle takie się znajdą), w których nie zachodzi konieczność stosowania rachunku całkowego.

Zajmując się jakimkolwiek zagadnieniem praktycznym uczeń musi dokonać dwóch rzeczy. Najpierw musi nadać zagadnieniu postać matematyczną, a następnie wykonać działania matematyczne niezbędne do jego {rozwiązania. Druga część jest bezużyteczna bez części pierwszej. Nasz wykład dotyczący całkowania ma więc dwa zadania: 1) Czytelnik powinien pojąć istotę całkowania tak dobrze, aby mógł natychmiast rozpoznać, które zadanie można rozwiązać przez całkowanie; 2) opanowanie metody matematycznej. Pierwszą część można opanować bez znajomości części drugiej. Obecnie zajmiemy się głównie 1 zadaniem, chociaż znajduje się tu również kilka marginesowych uwag dotyczących zadania 2. Rozpatrzymy bardzo proste zagadnienie, które można rozwiązać w dwóch wierszach, i spojrzymy na nie ze wszystkich możliwych stron. Przy rozwiązywaniu tego prostego zagadnienia zastosujemy metodę, za pomocą której można rozwiązywać znacznie trudniejsze zadania; można powiedzieć, że użyjemy młota parowego do zgniecenia orzecha. Celem nie będzie, rzecz jasna, zgniecenie orzecha, tylko pokazanie, jak działa młot. Nasze łatwe • zagadnienie jest następujące: znaleźć wzór na y, jeżeli y' — cc. Tak postawione zagadnienie nie jest kompletne. Dane jest y\ które może wyrażać prędkość ciała po upływie cc sekund. Jeżeli mamy wyznaczyć położenie tego ciała, to musimy, oczywiście, wiedzieć, skąd zaczyna się jego ruch. Przypuśćmy więc, iż powiedziano nam także, że y — 0, gdy x — 0. Teraz zagadnienie jest już całkowicie określone. Możemy uważać, że y jest odległością ciała od ustalonego punktu P. Na początku ciało znajduje się w punkcie P, gdyż odległość y jest wtedy równa zeru, Następnie ciało rozpoczyna ruch. Po 1 sekundzie jego prędkość wynosi 1 stopę na sekundę; po 2 sekundach jego prędkość wynosi 2 stopy na sekundę itd. Prędkość nie rośnie skokami, ale w sposób ciągły. Wzór y' =

= x oznacza bowiem, że prędkość po 1 ~ sekun-

i    ⁸ i

dy wynosi 1— stopy na sekundę, po 1— se-o ^    4

kundy y' wynosi 1 — itd. Mamy zatem pełny obraz ruchu.

METODY PRZYBLIŻONE

Przede wszystkim spróbujmy uzyskać jakieś przybliżone pojęcie o odległości przebytej w ciągu pierwszej sekundy. Podzielmy sekundę na dziesięć równych części i zbadajmy, co możemy powiedzieć o odległości przebytej przez ciało w każdej z tych dziesiątych części. W ciągu pierwszej 'dziesiątej części sekundy ciało porusza się z prędkością, która wzrasta w sposób ciągły od 0 na początku do 0,1 na końcu. Tak więc, prędkość średnia leży pomiędzy 0 i 0,1. A zatem przebyta odległość musi być większa od 0 razy 0,1, ale mniejsza od 0,1 razy 0,1. To samo rozumowanie możemy zastosować do każdej z pozostałych części sekundy. Odległość przebyta w ciągu 0,1 sekundy jest większa niż 0,1 razy najmniejsza prędkość i mniejsza niż 0,1 razy największa prędkość w tej części ruchu. Rozumowanie to przedstawiamy w tab. 14.

W pierwszej kolumnie mamy dziesięć części, na jakie została podzielona pierwsza sekunda. Następnie mamy dwie kolumny podające najmniejszą i największą prędkość w każdej części ruchu. Następne dwie kolumny zawierają iloczyny 0,1 przez najmniejszą prędkość i 0,1 przez

223