CCF20090120125

1:5, to otrzymamy boki o wymiarach —, —

D D

3    4

i 1. A więc dla tego trójkąta DE = i EF — —

3    4    ^5    5

oraz cos t = —, sin t — —. Podany wyżej wzór

przyjmuje postać:

czyli 3² + 4³ = 5².

Właśnie z powodu tej relacji pomiędzy liczbami 3, 4 i 5 trójkąt jest prostokątny. Innym takim trójkątem jest trójkąt o bokach 5, 12, 13. 5² + 12²• = 13². Jeżeli narysujemy kąt, którego

12

13.

to jego sinus wyniesie

cosinus jest równy—,

i. ó

Mamy tu odpowiedź na pytanie postawione w rozdz. 2; podany wyżej dowód jest w zasadzie dowodem podanym u Euklidesa. Wniosek ten nosi zazwyczaj nazwę twierdzenia Pitagorasa; można go sformułować następująco: jeżeli a, b i c są długościami boków trójkąta prostokątnego, to a^2l+b² = c². Wynik ten jest w zasadzie identyczny z uzyskanym przez nas wyżej wynikiem. Jeżeli bowiem t jest kątem pomiędzy bokami a i c, to a =■• c cos t i b = c sin t. (Wynik ten otrzymujemy powiększając skalę naszego wyjściowego trójkąta OPQ c .razy.) Tak więc, a² + b² = = (c cos t)²-f(c sin t)². To ostatnie wyrażenie jest równe: c² pomnożone przez (cos t)²+(sin i)². Zgodnie z przytoczonym wyżej dowodem, jest to równe c² pomnożone przez 1, a więc c². A zatem wzór a² + b² = c² uzyskujemy z naszego poprzedniego wyniku przez dokonanie prostych przekształceń algebraicznych.

Do tej pory rozpatrywaliśmy tylko trójkąty prostokątne. Obecnie zajmiemy się przypadkiem ogólniejszym. Przypuśćmy, że mamy trójkąt ABC i znamy długości boków AB i AC oraz wielkość kąta BAC. Jaka jest długość boku J5C? (Bezpośrednie zmierzenie odległości BC może być niemożliwe ze względu na góry, rzeki, bagna itd.)

W podręczniku trygonometrii długości boków BC, AC, AB oznacza się zazwyczaj przez a, b, c, a kąty trójkąta przez A, B, C. Tak więc bok a leży naprzeciw kąta A itd. Nasze zadanie jest następujące: znaleźć a mając dane b, c i A.

c

Czy zadanie to w ogóle można rozwiązać? Czy podane wielkości wystarczają do narysowania trójkąta ABC? Tak, wystarczają. Zadanie można rozwiązać sporządzając rysunek, a zatem należy zająć się jego rozwiązaniem.

Czy można to zadanie rozwiązać korzystając z tablic sinusów i cosinusów, nie sporządzając rysunku? Co to są tablice sinusów i cosinusów? Są one wynikiem doświadczeń przeprowadzanych na trójkątach prostokątnych. A zatem sinus i cosinus nic nam nie mówią o figurze, o ile tej figury nie da się rozłożyć na trójkąty prostokątne. Czy trójkąt ABC można podzielić na trójkąty prostokątne? Można, i to bardzo łatwo. Wystarczy poprowadzić prostą CD prostopadłą do

253