CCF20090120128

DE prostopadły do OB (ryc. 49). Wiemy więc, że OE = cos 1° = 0,99985, a DE. == sin 1° = = 0,01745.

Jak wprowadzić do rysunku wielkości sin 11 °? Odcinek OD ma długość 1 i tworzy z O A kąt 11°. Wysokość punktu D ponad OA wynosi więc sin 11°. Właśnie tę wysokość chcemy znaleźć.

Można to łatwo osiągnąć; jest to dokładnie ten sam problem, z jakim mieliśmy do czynienia, gdy podróżnik posuwał się o 100 km w jednym kierunku, a natępnie o 50 km w innym kierunku. Możemy dostać się z punktu O do punktu D idąc z O do E, a następnie z £ do D. Znamy długość i kierunek obu odcinków — OE i ED.

Narysujmy linię pionową FG przechodzącą przez punkt E. Punkt F leży na OA, a G jest punktem położonym na tej samej wysokości, co punkt D, tak że odcinek FG jest równy wysokości punktu D ponad O A, tzn. FG = sin 11°.

Ponieważ FG — FE+EG, więc zadanie zostanie rozwiązane, gdy obliczymy FE i EG. Z odcinkiem FE nie ma żadnych trudności. OE = — 0,99985 i odcinek ten tworzy z O A kąt 10°,

ci

FE = 0,99985 sin 10°"= 0,99985 • 0,17365. Odcinek EG można znaleźć z trójkąta EGD, któ-

258 ry ma kąt prosty przy wierzchołku G. Trójkąt GED można by otrzymać obracając trójkąt EOF o kąt prosty i zmniejszając go w odpowiedniej skali. Istotnie, kąt DEG jest rówiny kątowi EOF, tzn. ma 10°. Zgodnie z tym EG = ED cos 10° = — 0,01745 • 0,98481. Dodając do siebie te oba wyniki otrzymujemy długość odcinka FG, a więc wielkość sin 11°.

Otrzymany wynik można zapisać następująco: sin 11° = cos 1° sin 10°+sin 1° cos 10°. Liczby 1 i 10 niczym specjalnym się nie wyróżniają. To samo rozumowanie można by przeprowadzić dla dowolnych dwóch liczb, x i y; otrzymalibyśmy wówczas:

sin {x+y)° = cos x° sin y°+sin x° cos y°.

Bez trudu można obliczyć cos 11°, odległość, na jaką punkt D jest przesunięty w prawo od punktu O, oraz podać odpowiedni ogólny wzór na cos (x+y)°.

INNE WZORY

Rozpatrzone wzory należy traktować jako przykłady wzorów trygonometrycznych. W trygonometrii istnieje wiele innych wzorów, które w większości przypadków można znaleźć za pomocą rozumowania bardzo podobnego do przeprowadzonego wyżej. Niektóre książki zawierają masę wyników tego rodzaju. Dla większości celów w zupełności wystarcza kilka wzorów i kilka standardowych metod. Jeżeli ktoś uczy się trygonometrii dla jakichś określonych celów — np. miernictwa czy nawigacji — to warto, by zaopatrzył się w książkę dotyczącą tego przedmiotu i stwierdził, z jakich wzorów trygonometrycznych korzysta się w tych dziedzinach i jakie zadania rozwiązuje się z ich pomocą.

17*

259