CCF20090120138

znak + ; oznaczmy sumę tych wyrazów przez a, tj. a = 1 +y+y+y + Sumę pozostałych liczb występujących w szeregu .oznaczmy przez 5, tj. 5 •== Y + ~~ + y + Y + ... Zauważmy, że każda liczba występująca w 5 jest parzysta. Jeżeli podwoimy b, to otrzymamy 2 b = 1 + -— + 1 1

+-4-“+.,.; w szeregu dla 25 mamy wszyst-3    4

kie wyrazy szeregu dla a łącznie z wszystkimi wyrazami szeregu dla 5. Wydaje się więc, że szereg dla 25 powinien być równy a+5, a więc 25 — a+5. Stąd wynika, że b — a. Ale 5 nie może być równe a, gdyż każdy wyraz w szeregu a jest większy niż odpowiedni wyraz w szeregu 5; 1 jest większe niż 4- większe niż

11    l ^{Z 6}

y , zaś większe niż - itd. Gdyby a równało

się 5, to nasz wyjściowy szereg byłby równy 1—~- + 4----= a—b — 0. Ale suma wyj-

&    ó    rt

ściowego szeregu jest w rzeczywistości nieco mniejsza niż 0,7.

Inaczej mówiąc, robiąc to, co wydawało się rozsądne, doszliśmy do nieprawdziwego wyniku. Z drugiej jednak strony, w wielu przypadkach za pomocą szeregów otrzymano prawdziwe i użyteczne wyniki. Było więc jasne, że matematycy muszą rozpocząć bardziej szczegółowe badania tego, co rozumie się przez szereg i jakich działań można dokonywać na szeregach. Badania takie przeprowadzali matematycy w XIX wieku. Stanowiły one reakcję na beztroską postawę z czasów wcześniejszych; zapanował wówczas duch ostrożności. Matematycy stali się podobni do prawników, przywiązywali wagę do ścisłego i właściwego używania słów i byli bardzo podejrzliwi wobec rozumowań, które tylko „wydawały się sensowne”. Wprowadzono takie terminy, jak „zbieżność” i „zbieżność jednostajna”, aby móc odróżnić szeregi godne zaufania od takich, które prowadzą do błędnych wniosków.

Matematycy badali nie tylko stronę logiczną w szeregach; zaczęli troszczyć się o wszystkie słowa, jakich używali, i dopiero wtedy przestawali się (niepokoić, gdy mieli bardzo dokładne wyjaśnienie wszystkich stosowanych terminów. Współczesne książlki matematyczne ^jsą bardzo często o wiele obszerniejsze niż dawne, gdyż wiele miejsca poświęca się w nich na wyjaśnienie i uzasadnienie spraiw, które na pierwszy rzut oka wydają się oczywiste.

Istnieje bajka o stonodze, którą zapytano, w jakiej kolejności porusza swoimi nogami; pytanie to wprawiło ją w takie zakłopotanie, że nie mogła w ogóle chodzić.- Studenci, którzy rozpoczynają swoje studia od matematyki nowoczesnej, często cierpią na skutek podobnego zamętu: spędzają tyle czasu na uczeniu się, jak krytykować, że w ogóle nie mogą zrozumieć, jak się tworzy. Najlepszą taktyką jest iść śladami historii: najpierw nauczyć się widzieć wyniki tak, jak widzieli je pionierzy w tej dziedzinie, a dopiero potem badać .słabe punkty naturalnego podejścia do zagadnienia. Gdyby matematycy, którzy rozwijali tę naukę w .XVII i XVIII w., nie podejmowali żadnego ryzyka, wówczas matematycy XIX w. nie (mieliby czego krytykować.

279