6700449605

Dla ciągu liczb

symbol ££₌₀ a_k lub

X>

oznacza sumę ao + oi + ... + a„ i jest formalnie (tj. bez użycia kropek) określony wzorami

Y    a„ - ao,

Dodatkowo dla n > m > 1 definiujemy symbol £k=m a_k wzorem:

Y    a_k := Y_ “k - Y. °^k-

Symbol 5~ 1* ... a_k oznacza formalnie sumę a_m + a_m. i -ł-... + a„.

Zadanie 3.29. Zapisać przy pomocy znaku sumy wzory z Zadania 21.1001. Ponadto wykazać, że

(a)    XLkL_m a_k = a_m, dla m ^ 0,

(^b)    Lk=o “k = a₀ + a_k + a_m+i,

(c)    Lk=o(^ak + ^bk) = Lk=o ^Qk + Lk=o ^bk, dla n > m > 0.

Zadanie 3.30. Zapisać przy pomocy znaku sumy i udowodnić wzór

1² - 2² + 3² - 4²+ ... + (—1)"-V = (—1)ⁿ-'ⁿ⁽ⁿ2⁺¹⁾.

Zadanie 3.31. Dla ciągu liczb ao, ai,..., a_n, a_n+i,... (analogicznie jak dla sumy) zdefiniować symbol I"Ik=o ^Qk lub

n*.

oznaczający iloczyn ao ■ at •... • a_n.

Zadanie 3.32. Przytoczyć definicję silni oraz symbolu Newtona¹. Udowodnić ich potrzebne własności dla dowodu Zadania 3.33.

Zadanie 3.33. Wykazać następujący wzór dwumienny Newtona

Zadanie 3.34. Dla jakiej wartości n współczynniki w siódmym i dwunastym wyrazie rozwinięcia wyrażenia (1 + x)ⁿ są jednakowe?

Zadanie 3.35. Dla jakiej wartości n współczynniki drugiego, trzeciego i czwartego wyrazu rozwinięcia wyrażenia (a + b)ⁿ tworzą ciąg arytmetyczny?

‘Sir Isaac Newton (1643-1727), angielski fizyk, matematyk, astronom, filozof, historyk, badacz Biblii i alchemik.