CCF20110108000

LISTA 6

1. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:

(a)/x) = f+x²- 8x, (b)J[x) = x(x - 2)²,    (c)./(x) = a-² - ^

(d)/(x) = x³ + 3x² + 3x, (e) /(x) = -x + cosx, (f) /(x) =    ■

(g)Ax) = ln(x + J1 +x² ),    (h)./(x) = ^x² - 4 ln(x - 3).

(i) /(x) = 1 - 24x + 15x² - 2x³,    G)./(^x) = arctgY-

2.    Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:

(a) /(x) =    3 - 2x² -    x⁴,    (b)/x)    = x³ - 3x² + 3x,    (c)./[x) = x²(x - 6),

(d),/(x) =    f + ł,    (e)./(x)    = e-* + e²*,    (f)/x) = -fc,

(g)./(x) =    lnx-    (i)Xx)    = x³ -2x² + x,    G)/(x) = (x + l)²e^_jr,

(k)/(x) =    3x⁴ + 8x³    + 6x²- 1.    (l)/x) = x¹⁰⁰,    (m)./(x) = |x|.

3.    Korzystając z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej wykazać,że:

(a) |sinx -siny| < \x-y\,    (b) \arctgx - arctgy\ < |x-v|, dla wszystkich

x,y g DR.

4. Udowodnić,że:

(a) e^x > 1 +x dla x e IR,    (b) 2xarctgx > ln(l +x²) dla x g DR.

5. Znaleźć (o ile istnieją) największą oraz najmniejszą wartość poniższych funkcji we wskazanych zbiorach:

(a) flx) = ^x'³ ~ 3x² - 9x + 35, x g [-4,4], (b)/(x) = x² lnx, x g [\,e],

(c) /(x) = 2x³ - 15x² + 10. x g [-6,2], (d) /[x) = e~^x'², x e DR,

® fic) =    ,    x g [—1,1].

6. Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:

(a) f{x) = x³ - 2x² + x, (b)./(x) = (d)./[x) = 3x⁵ - 5x⁴ + 4,    (e)/x) =

X—\

(c) /(x) = xlnx,

(f) j{x) = x - ln(x² + 1).

7. Obliczyć granice:

(a) lim^i -7⁴?¹, (b) liin,_T__a; fj~-, (c) lim^o

sin*

A' 5

(d) lim*-

■00

e^x+l

v3

(e) lim_A--*o (i) linijko

sin* ⁷

A-sin*

3    ’

A

1+COSA'

(f) lim^o G) lim_A-»oo

4_a--+3j+1

(g) lim^o⁺ xlnx. (h) \lm^₀-xex,

*~^cosx (k) lim_A^o^j x^x, (I) lim_A^_xx²<2^_J,

1    „^2 -

A'

(m) lim*-*    (n) lim*-₀(l - e^lx)ctg2x,    (o) lim*-o(^- - ctg²x),

1—sin*+cos*

-cos A^-

(p) lim^ -^jp±

^xr/    2 Sin2A'-C