egzamina

Matematyka MAP 1058. Egzamin podstawowy. Grupa A.

Za każde z zadań można otrzymać od 0 do 5 punktów. Czas trwania egzaminu - 90 minut.

1.    W przestrzeni funkcji liniowych znaleźć dowolną bazę ortogonalną względem iloczynu skalarnego

ppiipiii

2.    Znaleźć dowolną bazę przestrzeni V = {(z.y.z.t) e R⁴ : x + 2y + z = 0, y - z + t = 0} nie zawierającą wektora v = (1, —1,1,2) Znaleźć wpółrzędne v tej bazie.

3.    Dwuwymiarowy wektor losowy (X, V) ma rozkład dany wzorami P(X = 0, Y = 1) = 0,2, P(X = 0, Y = 2) 10,8, P(X 11, Y = 1) 10,5, P(X = 1, Y = 2) = 0,5.

a)    Znaleźć rozkłady zmiennych X i Y i zbadać, czy te zmienne są niezależne.

b)    Obliczyć współczynnik korelacji dla X i Y.

4.    Dla procesu Poissona N_t z intensywnością A = 2 obliczyć

P(1V4 = 5, N₂ > 3|JVi = 2).

5.    W urnie 1 są trzy kule, w urnie 2 dwie. Łącznie w obu urnach rozmieszczono trzy kule białe i dwie czarne. W kolejnych krokach losujemy po jednej kuli z każdej urny i zamieniamy je miejscami. Stan łańucha to ilość kul białych w urnie 1.

a)    Ułożyć macierz przejścia tego łańcucha.

b)    Zbadać czy łańcuch jest ergodycżny. Odpowiedź uzasadnić.

c)    Obliczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że po 70 losowaniach wylosujemy kulę czarną.

6.    W czystym procesie urodzin X_t o przestrzeni stanów S N intensywności urodzin wynoszą Ao =

1, Aj = 1, a pozostałe są zerowe. Ponadto P(Xq = 0) = 1. Znaleźć wzory na P(Xt = n).