egzaminb

Matematyka MAP 1058. Egzamin podstawowy. Grupa B.

Za każde z zadań można otrzymać od 0 do 5 punktów. Czas trwania egzaminu - 90 minut.

'i C'l,

| Uzasadnić, że w przestrzeni 11 funkcja H OT xa)o(y_uy₃,y₃) = 5x_iyi + 2x_iy₂+Xiy₃+2x₂y_x+x₂y₂ + isyi + 2xjVj jest iloczynem skalarnym. Znaleźć dowolne dwa wektory ortogonalne względem tego iloczynu.

2.    Znaleźć dowolną bazę przestrzeni V = {W 1    ■' W'(l) i 2W"{1) = 0} oraz wektor, którego

wszystkie współrzędne w tej bazie wynoszą 2.

3.    Dwuwymiarowy wektor losowy (X,Y) ma gęstość daną wzorem f(x,y) = \(x²+y), x 6 [-1,1], y 6 [0,1] i /(x, y) = 0 dla pozostałych x, y.

a)    Zaleźć gęstości zmiennych X i Y i zbadać czy te zmienne są niezależne.

b)    Obliczyć P(Y < |p|j

4.    Dla procesu Wienera W_t obliczyć

P(W₆ > W₄ + 5|W, < 3^

^mik podać z użyciem funkcji $.

5.    Możliwe stany łańcucha Markowa X to 1, 2, 3 i 4, a jego macierz przejścia to

1/3 1/3    0    1/3

P =

⁰ Ś ⁰ 0

0 1/3 2/3 0 1/3 0    1/3    1/3

a)    Sklasyfikować stany pod kątem powracania, istotności, pochłaniania i znaleźć wszystkie właściwe zamknięte podzbiory stanów.

b)    Znaleźć prawdopodobieństwo, że po 2 krokach będziemy w stanie 1 jeżeli start z dowolnego stanu jest jednakowo prawdopodobny.

c)    Obliczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że po 40 krokach będziemy w stanie 1. Odpowiedź uzasadnić.

6. W procesie urodzin i śmierci X_t o przestrzeni stanów S = N intensywności urodzin to Ao = 3, a pozostałe są zerowe. Intensywności umierania to u| = 1, a pozostałe są zerowe. Ponadto P(Xo = 0) = 1. Znaleźć wzory na P(X_t = n).