img073

240 V. Metoda reprezentacyjna

Model UL Populacja generalna ma skończoną liczbę JV elementów. Rozkład badanej cechy X mierzalnej w populacji jest zbliżony do normalnego o średniej m i wariancji S². Z populacji tej należy wylosować zależnie , próbę, by na podstawie jej wyników oszacować wartość średnią m z ma- ^: ksymalnym, dopuszczalnym błędem d.

Potrzebną liczebność próby wyznacza się ze wzoru

(5.6)

rt =

.V

gdzie u_a jest odczytaną wartością dla przyjmowanego współczynnika ufności 1—a z tablicy rozkładu jV(0, 1).

Uwaga. Gdy rozkład populacji nie jest zbliżony do normalnego, wtedy we wzorze tym można przyjąć u_x=3, korzystając z reguły 3c?. Po-, nieważ n ma być liczbą naturalną, więc wynik zaokrąglamy zawsze w górę.

Przykład I. W celu oszacowania średniej kwoty miesięcznych wydatków na cele kulturalne w pewnej populacji liczącej .V— 5000 rodzin pracowniczych, wylosowano zależnie próbę n = 150 rodzin i otrzymano z niej średnią ,x=220 zł wydatków miesięcznie na cele kulturalne. Zakładając, że badane wydatki w populacji mają rozkład zbliżony do normalnego o wariancji S²=12 100 (zł)², należy zbudować przedział ufności dla średniej m tych wydatków w populacji ze współczynnikiem ufności 0,95.

Rozwiązanie, Ze względu na znajomość wariancji S² w populacji zbudujemy przedział ufności dla średniej m w oparciu o wzór (5.4) z modelu I.

Z tablicy rozkładu normalnego N{0, l) dla przyjętego współczynnika ufności 0,95 odczytujemy wartość i/*=l,96. Z treści zadania mamy 5= —110 zł. Obliczamy

1 —" -¹ -    =¹ -0.03=0,97.

Otrzymujemy zatem następujący przedział ufności dla średniej m wydal* ków na cele kulturalne:    ■)

HO - HO ,- |

220-1,96 -== V0,97< m <220 +1,96 -== v 0,97,    j

v 150    v 150    J

skąd

220 —17    <220 — J 7, czyli 203<7n<237.

Przykład 2. Korzystając z danych liczbowych poprzedniego przykładu, należy obliczyć, ile należałoby wylosować należnie redrii dc-    , by

oszacować nieznaną średnią rt: miesięcznych wydatków na cele kulturalne w rej populacji rodzin i błędem maksymalnym d= 10 zł przy współczynniku ufności 0,95.

Rozwiązanie. Potrzebną liczebność próby obliczamy według wzoru (5.6) z modelu Iii.

Z przykładu 1 mamy S^ł— 12 100, ,V=5000> u_a= 1,96, czyli u; =3.8416. Podstawiając te dane do wzoru (5.6) mamy

5000

“", Tuóo- Ki ji ’• JTeJiTnTIoć

5000

1+10,76

=425,1

5? 426.

Zwróćmy przy tym uwagę, że gdyby założyć losowanie niezależne próby, to stosując odpowiedni wzór z § 1.4 otrzymalibyśmy większą próbę dla tych samych warunków, bo wtedy n=465.

7-arfan ia

5.1.    Z populacji 6000 budynków mieszkalnych oddanych do użytku w 1966 r. w pewnym województwie w celu oszacowania średniej kubatury budynku wylosowano zależnie 300 budynków'. Z próby tej otrzymano średnią 5=1200 m³ oraz odchylenie standardowe 5=560 m³. Przyjmując współczynnik ufności 0,90 oszacować metodą przedziałową średnią kubaturę budynków mieszkalnych oddanych w tym województwie w badanym roku do użytku.

5.2.    W celu oszacowania średniej wysokości zarobków ekspedientów zatrudnionych w sklepach MHD w pewnym mieście wylosowano z populacji 800 tych ekspedientów za pomocą schematu losowania zależnego n= = 31 ekspedientów. Z próby tej otrzymano średnią zarobków x=248Q zł oraz odchylenie standardowe s =240 zł. Przyjmując, że rozkład zarobków ekspedientów jest zbliżony do normalnego, oszacować metodą przedziałową ze współczynnikiem ufności 0,95 średnią wysokość zarobków ekspedientów zatrudnionych w sklepach MHD w tym mieście.

16 Greń