mech2 141

280

Kozwiązanie

Na układ działają tylko siły potencjalne.Możemy więc korzystać z zasady zachowania energii:

B + U b oonst,

przy ozym B - energia klnetyozna,

U - energia potencjalna.

W położeniu poziomym:

- o.

= Mgh + D,

przy ozym h — wysokość położenia środka ciężkości pręta nad poziomem ziemi,

D — stała całkowania, potencjał na poziomie ziemi.

W położeniu dowolnym (po odchyleniu się pręta o kąt q>)

E„

“².

przy .ozym I_B - moment bezwładności pręta względem osi poziomej przechodzącej przez koniec O,

^Io ³ / ^x2 2T“ ^dx = ^M -y l².

o

U₂ ~M g (h - 1 sinq>) + D.

Porównująo sumę energii w obu położeniach otrzymamy!

^B/1 ^{+ = S}2 ^{+ U}2’

Ugh + D = M -1 l² to² + Mg (h - 1 sino) + L,

■y Ml² uj² - Mgl sin tp = O,

ożyli szukana prędkość kątowa

(U s

V-

Zadanie 5 (rys. 202)

Jednorodny pręt o ciężarze Q = 200 N i długości 1 = 120 cm może obraoać sie bez' tarcia dookoła poziomej osi przechodząoej w odległości 1/4 od końca pręta. Obliczyć z jaką prędkością v przechodzi dolny ko-nieo pręta przez położenie pionowe, jeżeli w chwili początkowej był ustawiony poziomo, a następnie został swobodnie puszozony.

Odp. v = 480 cm/s.

M-i^ WTr-f^T'* ^J-*f--rr    ^Tli" -I

ale

Zadanie 4

Na chropowatej płaszczyźnie nachylonej do poziomu pod kątem a ^1^&~ i dziemy kulę jednorodną i pozwalamy jej staczać się swobodnie. Wyznaozyc |k prędkość środka kuli w funkcji drogi oraz obliczyć, jaki powinien być najmniejszy współczynnik tarcia f między kulą i płaszczyzną, aby nie było poślizgu.

Rozwiązanie (rys. 20J^

Korzystając z zasady równoważności pracy i energii kinetycznej

A    2    . A    2

-4j- M v +2 Zyy w = ^M&^{z siDa}*

Uwzględniamy związek między uj , v podczas toczenia się bez poślizgu

ojr = v.

Ponadto moment bezwładności kuli względem średnicy poziomej

^X77 ^{3 M} T ^r2‘    Rys. ²⁰⁵

Ostateoznie

v² s ^ p sina.    (1)

Warunek toczenia się bez poślizgu

T <$fN.

Siły T i K wyznaczymy z równania ruchu środka masy kuli

C + U + F = Ma.

Rzutując na kierunek równi mamy

Mg sin a- T = M ^ .

Rzutująo na kierunek prostopadły do równi otrzymamy

N - Mg cos a= 0.

Przyspieszenie a = ję znajdujemy różniczkując otrzymaną zależność (1)

- dv 10 „ dx •„

²⁷ 5F = T ^B dF ^a»

dx _ 3¥ = ^v’

czyli

dv

dl

-ł

g sina.

■