mech2 62

122

Wariant 30

W pewnej chwili ciężar D (m = 100 kg) ustawiono na płycie i puszczono (przy nieodkształoonej sprężynie) bez prędkośoi początkowej.W tym samym czasie punkt B (dolny koniec sprężyny) zaczyna wykonywać ruoh w kierunku pionowym według prawa £ = 0,5 sin 20t (w om). Oś ę jest skierowana w dół. Współczynnik sztywności sprężyny c = 2000 N/cm.

•    Przykład rozwiązania zadania

Dwa ciężary DIB o masachl = 2 kg i = 5 kg leżą na gładkiej płaszczyźnie, naohylonej do poziomu pod kątem a = 30°i i są podtrzymywane przez sprężynę o sztywności o'= 6 N/om = 600 N/m. W pewnej chwili ciężar B zostaje zdjęty i jednocześnie (t = O) dolny koniec sprężyny B zaczyna wykonywać w kierunku pochylonej płaszczyzny ruoh według prawa Ę, =0,02 sin 1Qt (w m). Wyznaozyć równanie ruchu ciężaru D (rys. 74). .

Hys. 74 Rozwiązanie

Do rozwiązania tego zadania zastosujemy równanie dynamiczne ruohu punktu materialnego. Przyjmujemy poozątek układu współrzędnych w punkois spoczynku ciężaru D, odpowiadającemu statycznemu ugięciu sprężyny,zakładając że punkt D zajmuje swoje średnie położenie (£ = 0). Dodatni zwrot osi zc obieramy w kierunku górnej części pochyl.onej płaszczyzny (w stronę ruchu ciężaru D po zdjęciu ciężaru B). Ruch ciężaru D zatem jest 0-kreślony równaniem różniczkowym

n_D x = X,

%'którym X - suną rzutów na oś x sił działająoyoh na ciężar D (rys.74a), ciężar D, IT - reakoja normalna do pochylonej płaszozyzny. m    P - siła sprężysfcośai sprężyny.

m_D x = -G_D sina - P,

^:;iek wi?o

czym P = o(x - f _fc - § ).

•przy

st_L

f .    - statyczne ugięcie sprężyny pod działaniem ciężaru D,

^SCD

£    - przemieszczenie punktu zamocowania dolnego końca sprę

żyny zachodzącego według prawa 4 = d sin(pt) Cd * = 0,02 m, p = 10 s“¹).

Statyozne ugięcie fg^ wyznaczamy z równania rówuowagi ciężaru D znajdującego się w stanie spoczynku na pochylonej płaszczyźnie (rys.7^).

X = 0, -G_d sina + P_Q = 0 ,

to jest    •'    .

-G_d sina + o f_Bt= 0 ,

skąd

Gq Bin a

'^stD ⁼

Równanie różniozkowe ciężaru D przyjmie zatem postaći

m_D x = -G_d sina - o(x - f_at - l )

^bD

lub po przekształceniu    : • •• -

m^pć + ox = o d sin(pt).

Dzieląc obie strony tego' równania przez m^ i wprowadzająo oznaczenia!

o d . m - -    »    -— = ^b

⁰ =m².

D    D

otrzymujemy równanie różniczkowa w postaai

x + tu= h sin (pt).

Rozwiązanie tego równania składa się z całki ogólnej x * równania jednorodnego i oałki szczególnej x danego równania niejednorodnego

* • •

X = X + X .

Całka ogólna równania jednorodnego ma postać

x * = cos( u> t) + C₂ ,sin( tu t).