mech2 63

Cnlkn rjx, ozugóluo równania ule jednorodnego

x** = -g- —g sin(pt). to - p

Całka ogólna równania niejednorodnego

^:—^ sin(pt).

■ P

zróżniczkujmy

powyższe

X = coa (wk) ^{+ C}2 ^sin( ^tó *0 + -jr

•    U)

W celu określenie stałych całkowania i C₂ równanie po czasie

x = -C^ u) ain( lot) + C₂ w cos( to t) + ■ g • ^ g cos(pt)

u) — p

i wykorzystajmy warunki początkowe zadania.

Bozpatrywany ruch zaczyna się w chwili (t =0), kiedy odkształcenie sprężyny jest'równe statycznemu ugięciu pod działaniem ciężarów D i B. Gdy przyjmiemy położenie punktu początkowego 0,wówczas początkowa współrzędna ciężaru D i_Q = -f_st_E» Pizy czym f’_sts = G^ aina/o jest statyoz-nym ugięciem sprężyny w wyniku działania ciężaru E. Tak więo:, gdy t = 0

¹ - *o = -^fst_B» * = *_Q = °-    '

Po zestawieniu równań: x = x(t) i X = x(t) dla t = 0, otrzymamy

^xo = ^C1»

*0 * °2”^,ł -5^' J. •

U) — p

skąd

^G1 -■ "^fst_E* ^C2 “ " _f 2 ^bP_2T E    oj C u) - p )

Równanie ruchu oiężaru D ma więc następującą postać:

x = -fcos( u) t)--2^2—2“ sin( u) t) + -g--—2 ^sin(P^fc) •

E    wCto-p)    ui-p

Obliczymy obeanie wartości liczbowe odpowiednich wielkości wchodzących w skład równania

m

li

Oatatecznie równanie ruobu oiężaru D przyjmie po6tać (w oso)

-x = -2,45 coe17,5t - 1»73 sin17,3t + 3 sinIOt.

1.4. Całkowanie równań dynamicznych ruohu punktu materialnego w ruohu względnym

Zadanie D-4

Kulkę M rozpatrujemy - jako punkt materialny poruszający się wewnątrz cylindrycznego kanału olała A będącego w ruchu (rys.75-77). Znaleźć równanie ruobu względnego tej kulki x = x(t), przyjmując za punkt pooząt-kowy punkt O.    ..

Ciało A obraoa się równomiernie wokół stałej osi (w wariantaoh: 2,3> 4|7»lO»11»1^t20,23,26 i 30 oś obrotu z* jest pionowa, w wariantaoh zaśt 1,12,15 ¹ 25 oś obrotu    jest poziomi). W wariantach: 5,6,B,9,13,16,

17,18,19,21,22,24,27,28 i 29 olało A porusza się ruchem postępowym, równolegle do pionowej płaszczyzny y^O-jz^.

Obliczyć również współrzędną x i olśnienie kulki na ściankę kanału gdy jest zadany czas t = T.

Dane potrzebne do rozwiązania poszczególnych zadań zestawiono w tabeli 24.

W zadaniaoh przyjęto następujące oznaczenia:

m - masa kulki M,

oj - stała prędkość kątowa ciała A (w wariantach: 1-4,7,10-12.14,13, 20,23,25,26,30) lub korb 0-|B i O2C (w wariantaoh: 6,17,22),

o - współczynnik sztywnośoi sprężyny, do której jest przyozepiona kulka M,

1₀- długość sprężyny nie odkształconej,

f - współczynnik tarcia posuwistego kulki po ścianoe kanału.

Przykład rozwiązania zadania

Dane: a = 3O⁰, oj = 71 s^-^, m = 0,01 kg, t = 0,2 s, x_Q = 2 m/s, c = = 0,01 N/cm = 1 N/m, 1_Q = 0,2 m, r = 0,2 m.

Znaleźć równanie x = x(t) ruchu względnego kulki M, oraz współrzędną X i ciśnienie kulki na ścjankę kanału przy zadanym czasie t =-c .

Eozwi ązanie

Niech będzie dany ruchomy układ oai wapółrzędnyoh Oxyz sztywno związany z obracającym się kanałem (rurką).Przyjmujemy oś x na trajektorii ruchu względnego kulki M. Obrót tego układu wokół osi z^ powoduje ruch kulki U. Względnym ruchem kulki U jest jej ruch wewnątrz rurki.Gdy układ obraca się ze stałą prędkością, wówczas względny ruch punktu wyraża się równaniem

'    ^{m a}w ^{= s}^i ^+    + ®C^ł

w którym I>_u = E_ud.

Do kulki M są przyłożone siły: ciężar £, reakoja sprężyny i normalna reakoja ścianki rurki !T, którą można rozłożyć na dwie wzajemnie prostopadłe składowe i ITg. Do tyoh sił dołączamy r.iłę bezwładności ⁵ud

J