mechanika1 (podrecznik)5

92

2.102. Równowaga przestrzennego układu sil

Podobnie jak w przypadku płaskiego układu sił, układ przestrzenny jest w równowadze, jeśli wektor główny i moment główny są równe zeru, czyli

S = 0 i M° = 0    (2.24)

Dwa powyższe równania wektorowe można zastąpić sześcioma równaniami analitycznymi, rozpisując równania wektorowe w składowych. Równania te noszą nazwę warunków równowagi przestrzennego układu sił

s_x'= i Ptc = 0, S_y= i P_iy = 0, s_t = i Pt = 0; •

i= 1    i = 1    i = 1

(2.24 a)

M. = i (r x P-X = 0, M_y = i (r x P_t)_y = 0, M, = £ (r x jP,), = 0.

i— 1 V    i = l    i=l

•

Tak więc dowolny przestrzenny układ sił jest w równowadze, jeżeli suma rzutów wszystkich sił na osie x, y, z równa się zeru oraz suma momentów wszystkich sił względem trzech osi też równa się zeru. Osie układu nie muszą być wzajemnie prostopadłe. Mogą to być zupełnie dowolne trzy osie, byleby ich orty były liniowo niezależne.

Należy podkreślić, że dla szczególnych przypadków układów sił niektóre równania równowagi mogą być tożsamościowo spełnione. W takich przypadkach liczba równań równowagi może być mniejsza od sześciu. Przykładem takim jest układ sił równoległych, kiedy to składowe sił na płaszczyznę prostopadłą do kierunku ich działania są równe zeru, a moment liczony względem tego kierunku nie istnieje. Takim szczególnym przypadkiem jest również omawiany wcześniej układ sił _ zbieżnych. Warunki równowagi redukują się wówczas do trzech równań dla składowych wektora głównego.

. Przykłady

1. Znaleźć dla dwóch sil wichrowatych (jak na rys. 2.88) oś centralną oraz skrętnik.

Rozwiązanie Wektor główny

S = S_xi + S_yj — {P₂ + P₂cosa)i + P₂sm<xj.

Moment główny

M° = M_xi + M_yj — (-P₂łisincc)i + (P₂hcoscc)j.

Równanie osi centralnej

-/iP₂sina + zP₂sina hP₂coscc-(P_l +P₂cosac)z -P₂sina • x + (P₂ + P₂cosa)y Pi + P₂cosa    P₂sina    0

czyli

h

P₂(Pi cos a + P₂)

Pl + Pj + 2P₁P₂cosa’

Ponieważ -P₂sinax + (P₂ + P₂cosa)y = 0, więc

P₂ sin a

y = x —■-,

P₂ + P₂ cos a

tzn. oś skrętnika leży w płaszczyźnie równoległej do x, y. Po założeniu, że moduły sił są sobie równe: P_l = P₂.= P otrzymamy

Moment skrętnika wyznaczamy, gdy jóst to rzut momentu na kierunek wektora głównego

M^s • S = M° • S,

M^s ■ S = M_XS_X + M_yS_y + M_ZS.    (a)

Moduł wektora głównego

S = y/S²x + S²y + Sf = V^fi + Pi + 2PiP₂cosa.    (b)

Gdy podstawimy (a) do (b) ostatecznie moment skrętnika wyniesie

M^s = ~(M_XS_X + M_yS_y + Af.SJ

hP₁P₂sina

\/Pf + Pl + 2P_xP₂cosa