top8

20

1. Podstawowe pojęcia

Fakt. Odwzorowanie identycznościowe id_x: X —> X jest ciągle; złożenie goj;

X -* Z odwzorowań ciągłych X -* Y i Y -* Z jest odwzorowaniem ciągłym.

Tym samym najważniejsze zostało już powiedziane. Czytelnikowi, dla którego jest to nowością, proponuję dla wprawy dwa użyteczne ćwiczenia. Pierwsze polega na scharakteryzowaniu odwzorowań ciągłych w terminach „alternatywnych definicji’" z §1, tzn. na wykazaniu, że /: X Y jest ciągłe przeciwobrazy zbiorów domkniętych są domknięte przeciwobrazy otoczeń są otoczeniami (dokładniej: jest otoczeniem x, jeżeli U jest otoczeniem /(x)) f~^l(B)cf ^l(B) dla każdego B <z Y. Ponadto w szczególnym przypadku przestrzeni metrycznych charakteryzacja ciągłości w terminach otoczeń sprowadza się do tradycyjnej formułki „dla każdego c > 0 istnieje S > 0...".

Drugie rekomendowane ćwiczenie dotyczy podprzestrzeni, sumy rozłącznej . i produktu i polega na udowodnieniu następujących faktów:

Fakt I. Jeżeli f; X -* Y jest ciągłe, a X₀ c X jest podprzestrzenną, to obcięcie f\X₀: X₀ -* Y jest także ciągłe.

Fakt 2. /: X 4- Y Z jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy każde z odwzorowań f\X,f\Yjest ciągłe. (^ł)

Fakt 3. (/j,/₂): Z -*X x Y jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy każde z odwzorowań /,: Z • * X, f₂: Z -» Y jest ciągłe.

Własności sformułowane w faktach 2 i 3 można także traktować jako charakteryzację sumy rozłącznej i produktu topologii.

Definicja (homeomorfizm). Odwzorowanie f: X -* Y nazywamy homeomorjiz-mew, jeżeli jest bijektywne oraz każde z odwzorowań /i f~¹ jest ciągłe (co oznacza, że otwartość U <= X jest równoważna z otwartością f{U) c F).

Przypuśćmy, że przestrzeń A' lub jej podzbiór A ^ X ma jakąś własność topologiczną (tzn. taką, którą można wyrazić w terminach zbiorów otwartych). Wówczas, jeżeli /: X -* Y jest homeomorfizmem, to tę samą własność musi mieć przestrzeń Y lub, odpowiednio, jej podzbiór f(A). Na przykład: A <z X jest domknięty *»■ f(A) jest domknięty; U <z X jest otoczeniem x <*■ f (U) jest otoczeniem /(,x); ® jest bazą topologii w X o {f (B)| Be®} jest bazą topologii w F; i tak dalej.

A zatem homeomorfizmy odgrywają taką samą rolę w topologii, jak izomorfizmy liniowe w algebrze liniowej, biholomorfizmy w analizie zespolonej, izomorfizmy grup w teorii grup czy wreszcie izometric w geometrii riemannowskiej. 2 tego też powodu używamy zapisu /: A^r =* Y dla homcomorfizmów oraz X £ Y dla przestrzeni homcomorficznych (tzn. takich, dla których istnieje homeomorfizm jednej na drugą).

Dotychczas poznaliśmy niewiele topologicznych własności przestrzeni. Spośród bogactwa takich własności do niniejszego rozdziału o „podstawowych pojęciach"

(') Niemniej jednak odwzorowanie, klóiego obcięcie do każdej z dwóch rozłącznych podprzestrzeni jest ciągłe, nic musi być ciągłe na ich sumie. (Pr/.yp. (łum.l