Zadania

e) Re(4z²+z²) + 3|z|² = O Odp: y = -2xv y = 2x; fj|z|>Rez + Imz Odp: R² ~/?f; g) |z - 3 + 4/j < 4 Odp: (x - 3)² + (>- + 4)² <16;    h) |z-l| = Im z    Odp: x = 1 /\y > 0;

i) Imz²=-1 Odp: 2xy = -l;    j)|z-2|>Rez Odp: y² > 4x-4;

1 < Izl < 2

i    odp: ^wy^cinek.

Re(z² + z) > 0

1    .. ,    3 Odp: 0 < < |jc| ;

--7T < arg(/z) < ₂ TT

1)

-7T < argz < n

m) Im — = — Odp: x² + (y +1)² = 1 a z * 0; z 2

pierścienia n) |z —1| = |Re z| Odp: y² = 2x -1;

7.Rozwiązać równanie algebraiczne ą) z² + (1 - 2/)z +1 + 5/ = 0 b) z² + (1 + 4/)z - (5 + /) = 0 ę) z⁴ +3z² - 4 = 0

Odp: z, = -2 + 3/ v z₂ = 1 - i;

Odp: z, =-2 —3/vz₂ = 1—/';

Odp: z, = -1 v z₂ = 1 v z₃ = -2/ v z₄ = 2i;

o, ,    3 V3.

Odp: z, = 3vzj =    —~ivz₃

Odp: z, = -2 v z₂ =-3vz, = 1 - 2/ v z₄ = 1 + 2/; Odp: z, = -1 v z₂ = -2 v z₃ = 2 —i v z₄ = 2 + /;

3 V3 .

---1--1\

2 2

d) z³ -6z-9 = 0

ę) z⁴+3z³ + z²+13z + 30 = 0 0z⁴-z³-5z²+7z + 10 = 0

8. Wiedząc, że liczba zespolona:

ą) z, = 2 + / jest pierwiastkiem równania z⁴ - 4z³ + 6z² - 4z + 5 = 0, znaleźć pozostałe pierwiastki Odp: z, = 2 + / v z₂ = 2-/vz₃ = -/ v z₄ = i;

b) z, = 2/ jest pierwiastkiem równania z⁴ +4z³ +9z² +16z + 20 = 0, znaleźć pozostałe pierwiastki Odp: z, = 2i v z₂ = —2/ vz₃ = -2 - / v z₄ = -2 + i;

9. Rozłożyć na ułamki proste funkcję wymierną w zbiorze liczb rzeczywistych i zespolonych

2

ą)/0) =

JC² +1 x(x + l)³

b) /(x) =

+ 2x + 3

x⁴ + 2x³ + 4x² - 2x - 5

, „ , 2x +10

c)    J(x)= ,    ■

x -3x + 2

d)    /(*)=

Odpi /(x) = —

Odp: /(x) = Odp: /(x) =

X X +1 (x + l)³

2    3

— x +1

16(x + l) 16(x — 1)    16 x² + 2x + 5

2    4

ę] /(*) =

x⁴ - 6x³ +14x² -16x + 8 x² +5x x⁴ -4x + 3

x + 2 (x-l)² Odp: /(x) = -

Odp: f(x) =

1

1

x — 1

2 x-2    2 (x-2)²    2 x² + 2x + 2

1

x + 3

2(x — 1)    (x-l)²    2(x +2x + 3)

2