zadania matematyka (7)

2

Zadanie 11. Zbadać monotoniczność funkcji

a)    I9ih f(x) := —2x + 3,    c) [2, oo) 3 x «-* f(x) := 4x — x²,

b)    [1, oo)9ih f(x) := —^d) l¹’    /(*) ^{:= 3:2} + ~2•

Zadanie 12. Wyznaczyć obraz zbioru yl i przeciwobraz zbioru B dla funkcji /, gdy

a)    R 3 x »-* /(a;) := — ~ — 4,    := [6, oo), B = [3,5],

b) M9iK /(_x) := -a;² + 7x - 12, A := (-2,3], B = 0, 5 = [0,1],

c)    R3x*->f(x) := \x² — 5# + 6|, A:=(-1,2], 5 = 0, 5 = (0,1).

Zadanie 13. Wyznaczyć funkcję odwrotną do funkcji

a)    R9ih f(x) := 2 — 3x,

b)    [0, l]9iw f(x) := x²,

c)    [-2, -1] 3 x f(x) := i,

d)    [2, oo)3x^ /(z) :=

e)    f(x) := 1 — 3^-x,

f)    (1, oo)9ii-> f(x) 3 + log₂(3z).

Zadanie 14. Obliczyć granicę ciągu

3n + 1

a)    lim -——,

⁷ oo 2 — 3 n

^    n⁷ + 2 n

b)    lim ——

n->oo _no _ 371°

c)    lim —z—

⁷ n-K» 2n² + 1

v/2^+2

d)    lim —- - — ,

n-+oo n² + 2 ₃n _ ₂ⁿ

e)    lim --—,

' n->oo 5ⁿ — 3ⁿ *

2ⁿ⁺¹ + 3^TC+1

f)    lim —---—.

' to—»oo    2ⁿ + 3ⁿ

. _v ln(3ⁿ + 2ⁿ)

sJJhł—->

h)    lim ^^{n +} .]|, n-+oo log₃(n 4-1)

.    71 + 2n² - VI + 4n²

i)    lim -

n—>oo    77,

j)    lim (n — Vn² — 5n),

n—>00 \    /

k)    lim ^{/3n + 1}

oo \3n + 2

1) lim

°° \ n² + 8

2n²

Zadanie 15. Przy pomocy twierdzenia o trzech ciągach obliczyć granicę

n² +1

a) hm V2ⁿ + n^r

2 n

b) hm Vlⁿ + 2ⁿ + 3ⁿ,

c) hm

n + sinn

d)    lim

n—HX 2n² — 1

Tl    lę

e)    Um^T-r.

n-*°° ^ n² +

cos

2n +1

►°° 2n + 3 ’

Zadanie 16. Obliczyć granicę ciągu obliczając najpierw wartości występujących w niej sum

a)    lim

⁷    71—►OO

b)    hm

TO—► OO

c)    hm

TO—+ OO

TO / £ - fe=l ^v		d)	lim n—>oo
ELi		^e)	lim
^fc=l	ar		TO—» OO
/23Ł	sl(2fc — 1) 2n — l\	0	lim
i	n+1 2 i*		TO—» OO

nV4n² + n’

ⁿ Efe=i fc(fc+i) —1 — n

Eto    1

fc=l 2fc(2fc+l)

Eto    1

fc=l 3fc(3fc+l)

Zadanie 17. Zbadać zbieżność ciągu (a_n), zaś w przypadku zbieżności obliczyć jego granicę

a)    cii = 2, a_n+1 = V4 + a_n,

b)    dj ⁼ 1, cifiĄ-i ⁼ sina_n,

c)    d\ = 3, d_n-f-i — V3d_n 2.