0049

50

I. Teoria granic

x„=— -»0,    >'„ = n²-> + oo ,    x_ny_n = n-* + oo ;

n

a

X„=—>0 (a#0),    y„ = n-+ + oo,    x_ny_n = a-+a;

n

(- iy⁺¹

x„=------->0, y„ = n-* + oo, x„3'_n = (-l)"⁺¹ nie ma granicy.

n

W związku z tym, przy x„-+0 i ± oo, mówimy, że wyrażenie jest wyrażeniem nieoznaczonym postaci Ooo.

Rozważmy na koniec sumę x„+y„.

4° Tutaj okazuje się osobliwym przypadek, gdy x„ i y„ dążą do nieskończoności różnych znaków; w tym właśnie przypadku o sumie x_n+y_n nie można niczego powiedzieć bez znajomości samych ciągów x_n i y„. Różne powstające tu możliwości są zilustrowane przykładami:

x„ = 2«--> + co,    y„=-n->-co, x„ + y„ = n~* + co ;

x„=n-* + co, y„=-2n-> —oo,    x_n + y_n=-n-* — co ;

x_n = n + a-* + co,    oo,    x„+y_n = a-*a;

x„ = n + (-l)"^+ł-» + oo ,    >’„= — n-»-oo , x„ + y„=(-l)ⁿ⁺¹ nie ma granicy.

Ze względu na to, przy x„-> + cq i y,,-* — oo, mówimy, że wyrażenie x„+y„ jest wyrażeniem nieoznaczonym postaci co—co.

Tak więc, stawiając sobie za zadanie wyznaczenie granicy wyrażeń arytmetycznych (2) na podstawie granic ciągów {x„} i {>’„}, z których te wyrażenia utworzono, znaleźliśmy cztery przypadki, gdy tego nie można uczynić: wyrażenia nieoznaczone postaci

0    oo    .

......,    —,    0- oo , oo — oo ( ).

0    oo

W tych przypadkach należy, uwzględniając wzory na x„ i +„, badać bezpośrednio interesujące nas wyrażenie. Postępowanie to nie jest już tak proste, jak w przytoczonych powyżej schematach. Poniżej pokażemy kilka interesujących przykładów tego rodzaju.

32. Przykłady znajdowania granic. 1) Niechp(n) będzie wielomianem względem n o stałych współczynnikach:

p(n) = a₀n +a_ln'' ¹ + ... + o₄_₁ n + a_k.

Zapytajmy o granicę tego wielomianu. Gdyby wszystkie współczynniki tego wielomianu były dodatnie (ujemne), to od razu byłoby jasne, że granicą p(n) jest +oo ( — oo). Ale w przypadku współczynników różnych znaków jedne wyrazy dążą do + oo, inne do — oo i otrzymujemy nieoznaczoność postaci oo — oo.

(¹ > Oczywiście symbole te nie mają żadnego sensu liczbowego. Każdy z nich jest tylko krótką umowną charakterystyką dla wyrażenia jednego z typów nieoznaczoności.