008

Uzasadnimy pierwszy z tych trzech wzorów. Przedział [a, 6] dzielimy na podprzedziały równej długości: [zo,#]] U [x 1,2:3] U ... U [a:_n„i,a:_n]. Tu xq = a oraz x_n = b. Łącząc punkty ^2:0, /{2:0)), (2:1, f (2:1 , (^21 f (^2)) 1 -¹ * j 1 ? f 1)) t (^rto /(^Tł)) otrzymujemy łamany, której długość ze wzrostem n jest coraz bliższa długości samej krzywej. Kładziemy Ai = Xi — xq, A2 — X2 —    - ,An =    — xvn Zastosujemy twierdze^

nic Lagrange^!a dla każdego przedziału [xk~ijXfc]: istnieje punkt Uk G    że

/'(ut) =    ■ 2 twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że odległość punktów

(^fc-^/(^fe-l)) oraz (^xkif(&k)) wynosi Ą =    ~ fffc-1)² + [/(gfc) ~ /(sfe-i)]* =

yf{x_k ~x_k-i)² +1 f'(u_k)(x_k ~ a?_fc_i)]² = y/{x_k - a:_fc_i)² -h [/'WaOP^*    = (x_fe -

Xk~ 1) V⁷¹ + [f'[uk)]²-

»^*))

Dla lepszego zrozumienia, wprowadźmy funkcję pomocniczą #(2:) — y 1{f^f(x})²>

Oczywiście d*. — A_fc ■ #(ufc). Zatem długość łamanej na powyższym rysunku jest równa

A[ ■ t}(u \) 4- *.. 4- A_u- g(u_7L) — (2:1 —    4- [/4/c-i )}² 4- - . ■ 4"    [/

Widzimy, że długość łamanej to suma całkowa a_n funkcji g(x). Z definicji całki oznaczonej

b    t _

wynika zatem, że długość luku wynosi lim a_n = j g(x)dx = J yfl 4- \f^ł(x)]² dx.

Tl—>CC

a

a

;-s

PRZYKŁAD 4, Obliczyć długość krzywej y = x³^² od punktu (0,0) do punktu (1,1),

• *.

Pochodna funkcji f(x) — x^² wynosi f^f(x) - f#¹/². % pochodna jest funkcją ciągłą w przedziale [0,1]. Dlatego możemy zastosować pierwszy wzór na długość łuku. Ponieważ

yjl + (/'(x))2 = yi + f (.E¹/²)² = y 1 + f®, więc długość

1+!* = ('■*

2    = 2t d*

di = $ t di

j: = 0 => t=l x = 1 =i> t=yh3/4

92