0102

§ 2. Granica funkcji

103

a więc interesujące nas wyrażenie przedstawić można w postaci

sin ę sin <p 2"

<P ■    </> '

2 sin —    sin —=

2" 2"

Ponieważ x„=^/2"->0, to z uwagi na początku przykładu wynika, że

sin —

2"

lim-= 1 ,

sin ę

i granica naszego ciągu wynosi -.

<?

8) Zbadamy teraz bardzo ważną granicę. W ustępie 36 określiliśmy mianowicie liczbę e jako granicę ciągu

(10)    e = lim(l+*

Teraz ustalimy wynik ogólniejszy:

(U)

a także, że

lim 1 + — ) =e,

x -* + oo \ X ,

(11 a)

lim ( 1 + — ) = e.

*--<A ^x

Skorzystamy teraz z drugiej definicji granicy, wyrażonej w języku ciągów [óSjf¹). Przede wszystkim zauważmy, że wraz z (10) zachodzi równość

(12)

,    1 y

lim{ 1 +—J =e,

gdzie n_k jest dowolnym ciągiem liczb naturalnych, dążącym wraz z k do nieskończoności [40].

Niech teraz dany będzie dowolny ciąg x_k rozbieżny do +oo; możemy przyjąć także, że wszystkie x_k>l. Niech n_t=[x*], czyli

ⁿk^x_k<n_k+1 oraz n_k-> + oo.

Ponieważ przy tym

n_k+1 x_k n_k ’

więc

1 +

"*+1 /    \ x_kJ \ n_kj

(¹) Definicja ta nosi nazwę definicji Heinego. Definicja w języku epsilonów i delt nosi nazwę definicji Cauchy'ego. (Przyp. tłum.).