0230

231

§ 6. Interpolacja

Ostatecznie z (5) otrzymujemy

f^(m+u(0

(7)    /(x) = L(x) + i—<n(x)    (a<Z<b).

(m+1)!

Jest to wzór interpolacyjny Lagrange'a z resztą. W odróżnieniu od wzoru (2) jest on dokładny !

Uwaga. Jeśli w przedziale <a, by

max |/^{(m+ 1J}(z)| = M_m+1 < co,

to ponieważ w tym przedziale |a>(z)|<(ó —a)^m+1, otrzymujemy następujące oszacowanie dla błędu wzoru (2):

Przy m-»co prawa strona dąży do zera tylko dla bardzo wąskiej klasy funkcji/(x). Będzie to zachodziło na przykład dla takich funkcji, które w <a, b) są różniczkowalne dowolną liczbę razy, przy czym wszystkie ich pochodne są ograniczone przez tę samą stałą M. W tym wypadku w miarę wzrastania liczby węzłów interpolacyjnych niezależnie od prawa ich wyboru błąd (2) będzie dążył do zera jednostajnie. Jak wykazał J. Marcinkiewicz, dla każdej funkcji ciągłej z osobna można uzyskać taki sam efekt przez odpowiedni wybór kolejnych układów węzłów. W myśl twierdzenia G. Fabera nie istnieje jednak taki sposób wyboru węzłów, który byłby jednocześnie dobry w tym sensie dla wszystkich funkcji ciągłych. Nie mamy tu możliwości wnikać głębiej w te i podobne zagadnienia.

130. Interpolacja z krotnymi węzłami. Wzór Hermite’a. Można postawić sobie ogólniejsze zagadnienie interpolacyjne, zadając w węzłach x₀, Xj, ..., x„ oprócz wartości samej funkcji /(x) także wartości kolejnych jej pochodnych

f(x₀)J'(x₀),...J^M(x₀),

(8)    /(x₁),/'(x₁),..„/⁽"'⁾(x₁),

f(x_m),f'(x_m), ...,/⁽"~>(x_ra),

gdzie n₀, n_y, ..., n_m są nieujemnymi liczbami całkowitymi. Ogólna liczba tych warunków równa się

(n₀+ l) + (^wi + !)+■■■ +(ⁿm+ 1) = N.

Zagadnienie obliczenia wartości funkcji/(x) dla dowolnej wartości x z <a, b} różnej od węzłów i przy wykorzystaniu wszystkich danych (8) będziemy rozumieli, podobnie jak w wypadku najprostszym, w następujący sposób. Szukamy wielomianu H(x) najniższego stopnia, który w każdym węźle x_f przybiera wraz ze swymi pochodnymi do rzędu w, włącznie te same wartości, co i funkcja/(x) i jej odpowiednie pochodne, a następnie przyjmu-