0294

295

§ 5. Przybliżone rozwiązywanie równań

gdyż pozwala to zwęzić przedział zawierający pierwiastek. Odrzucamy poprzednią wartość *1 i przyj' mujemy

Xi = —1,96, Xi — —1,95.

Mamy dalej

/(—1,96)= -0,180672 ,    /'(-1,96)=19,9696 ,

*;=-i,96+

0,180672

19,9696

-1,96 + 0,00904

- — 1,95095...,

*2= ^—1,95 —

0,01 0,01775 0,01775+0,180672

-1,95 - 0,00089... = —1,95089...

Ponieważ £, ma być zawarte między tymi liczbami, jest jasne, że

{, = -1,9509 ±0,0001

(a więc żądana dokładność została przekroczona!).

(b) W przedziale <0, 1> pierwsza pochodna/'(jc) zachowuje znak minus, ale druga pochodna f"(x) zmienia znak i równa jest zeru w punkcie *=|. Zmusza nas to^jfeszcze do uprzedniego zwężenia przedziału. Próbując wartość x=0,5, otrzymujemy/(0,5) = 1,5>0; ponieważ /(1)= —1 <0, {₂ jest zawarte wewnątrz przedziału <0,5; 1 >, w którym f"(x) zachowuje znak plus (przypadek II). Także i tutaj regułę Newtona stosujemy do lewych końców. Mamy

1.5    0,5

x\ =0,5 +— =0,7307 * 0,74,    x_t = 1 —-=0,80.

6.5    2,5

To, że zaokrągliliśmy x\ w stronę pierwiastka, nie doprowadziło do przekroczenia pierwiastka, bowiem / (0,74) = 0,082848 >0. Wreszcie

0,082848    0,01296

x't =0,74+--=0,755...,    *₂ =0,80--!-=0,756...,

5,1944

a więc 0,755... <{₂ <0,756... i można przyjąć

£ ₂ =0,756-0,001.

0,298848

(c) W przedziale <1, 2) druga pochodna zachowuje znak plus, ale pierwsza pochodna zmienia znak, znikając w punkcie

x=--* 1,26.

Badamy wartość 1,5; y(1,5)= — 1, podczas gdy/(2) = 3, a więc 1,5<<₃<2; f'(x) ma w tym przedziale znak plus (przypadek I). Mamy

1    ,    3

x i — 1,5 H—1,6    x i—2—^wl,7;

8

13

i tu nie przekroczyliśmy pierwiastka, gdyż /(1,7) = 0,036. Wreszcie

0,0568    0,036

*2=1,64—--=1,6 +0,094... = 1,694...,    *'₂ = 1,7- 2—-=1,7 -0,005... =1,695...,

0,604    6,94

a więc f₃ = 1,694 +0,001.

Uwaga. Ponieważ na mocy znanego twierdzenia algebry suma pierwiastków musi się równać 0,5, można z tego skorzystać dia sprawdzenia.

2) Równanie

/(x)=^⁴—3x^j+752C —10000=0