0436

437

§ 4. Zamiana zmiennych

Podstawmy teraz we wzorze (15) zamiast dt i du wyrażenia (17) i przyrównajmy współczynniki po obu stronach. Otrzymamy od razu

dz    dz    dz    dz    dz    dz

— — a--i-c — ,    —=b--i-d—•

dx    dt    du    dy    dt    du

Zamiast równania (16) mamy teraz

2    ® ^Z i

d z=—r dx +2-dx²

dxdy

dxdy+—^dy = dy

d²z

'dt²

d²z    d² z ,

dt +2-dtduĄ--■= du²

dtdu    du²

dz

"dt

d t-

dz

~du

d u.

Podstawiając tu wyrażenia (17) i (18) i przyrównując współczynniki przy dx², dxdy i dy² po obu stro-

d² z    d² z    d² z

nach obliczamy od razu pochodne —-j, —-—, —j, itd.

dx dxdy dy

221. Przypadek ogólny zamiany zmiennych. Zajmiemy się na zakończenie ogólnym przypadkiem, gdy zamieniamy i zmienne niezależne i funkcje. Niech wzory na przekształcenie będą rozwiązane względem starych zmiennych

(19)    x=<p(t, u, u),    y=</f(t, u, e),    z=x(t,u,v).

Jeżeli z jest funkcją z=f(x,y) zmiennych x i y, to podstawiając w tej funkcji zamiast x, y i z prawe strony wzorów (19) otrzymujemy zależność między pozostałą trójką zmiennych, i tym samym v jest funkcją t i u.

Przyjmując, że zmiennymi niezależnymi są t i u (jmetoda wprost) i z jest ich funkcją za pośred-

dx dy dz

nictwem x i y, otrzymujemy, tak jak wyżej, równości (9) i z nich (10). Teraz jednak -, —, ..., —

•    dt dt du

oznaczają „zupełne” pochodne cząstkowe x, y i z względem t lub u, to znaczy pochodne obliczone

z (19) z uwzględnieniem tego, że v też zależy od t i u:

dx    dę    dę    dv    dz    dx dx    dv

dt    dt    du    dt    ’    du    du^de    du

dv dv

Współczynniki A, B, C, D oprócz zmiennych r, u, v zawierają również pochodne —.— ; są one

dt du

przy tym funkcjami wymiernymi tych pochodnych. Stosując kolejno wzory (10) obliczamy tak jak przedtem pochodne drugiego i wyższych rzędów.

Jeżeli wzory na przekształcenie są rozwiązane względem nowych zmiennych

(20)    t=a(x,y,z),    u=*0(x,y,z),    v=y(x,y,z), to stosujemy zazwyczaj metodę odwrotną, to znaczy traktujemy x i y jako zmienne niezależne. Mamy wówczas

de    de    dt    de    du    de    de    dt    de    du

dx    dt    dx ^    du    dx ’    dy    dt    dy    du    dy

dt    de

Zamiast —, ..., — wstawiamy tu wyrażenia otrzymane przez różniczkowanie względem x lub y dx    dy

wzorów (20). Przy tym różniczkowaniu należy pamiętać, że z jest funkcją x i y, to znaczy

dt    da    da    dz    de    dy    dy    dz

dx    dx    dz    dx’    ' dy    dy    dz    dy

dz dz

W ten sposób otrzymujemy dla pochodnych — i —— równania liniowe, z których możemy te

a, a,    ^dy

pochodne wyrazić przez x,y, z, — , — •

dt du