0448

449

§ 1. Przedstawienie analityczne krzywych i powierzchni

Z twierdzeń o istnieniu funkcji uwikłanej [205, 206] wynika, że jeżeli w punkcie (x₀, y₀) krzywej określonej równaniem (2) spełniony jest warunek

K(x₀, yo)^0 lub F'_y(x_o,y_o)*0,

to co najmniej w pewnym otoczeniu tego punktu krzywa może być przedstawiona równaniem (1) pierwszej lub drugiej postaci, przy czym występująca w nim funkcja / lub g jest ciągła wraz ze swoją pochodną.

Tym samym tylko w otoczeniu takiego punktu (x₀, y₀) krzywej, w którym spełnione są jednocześnie obydwa równania

(3)    F;(x₀, y_o) = 0,    F_y(x₀,y₀) = 0,

krzywa może się nie dać przedstawić równaniem (1) pierwszej lub drugiej postaci. Punkty krzywej spełniające równania (3) nazywamy punktami osobliwymi.

Niżej [236] zajmiemy się zagadnieniem, jak zachowuje się krzywa (2) w pobliżu punktu osobliwego. W zasadzie jednak będziemy wykluczali punkty osobliwe z naszych rozważań i będziemy badali krzywe tylko w otoczeniu punktów zwykłych (tzn. nieosobliwych). Wspominaliśmy już nieraz, że równania postaci

(4)    x=<p(t),    y-y/(t),

ustalające zależność współrzędnych bieżących od pewnego parametru t, także określają krzywą na płaszczyźnie (patrz np. ustęp 106). Równania takie nazywają się równaniami parametrycznymi', dają one parametryczne przedstawienie krzywej.

Rozpatrzmy punkt (x₀, y₀) określony wartością parametru t=t₀; załóżmy przy tym, że dla t=t₀ jest ę'{t₀) # 0. Wówczas w pobliżu tej wartości t pochodna x'_t = ę'(t) zachowuje wobec ciągłości ten sam znak i funkcja x= ę(t) jest tym samym monotoniczna [132]. Przy tym założeniu można zatem rozpatrywać t jako jednoznaczną funkcję t = 6(x) zmiennej x, ciągłą i mającą ciągłą pochodną [83,94]. Podstawiając tę funkcję zamiast t w drugiej z funkcji (4) ustalamy bezpośrednią zależność yodx:

y = y/{B(x))^f{x);

funkcja /jest również ciągła wraz ze swoją pochodną. W ten sposób możemy przedstawić równaniem nieuwiklanym przynajmniej pewien łuk krzywej przylegający do rozpatrywanego punktu t=t₀. Do analogicznego wniosku dochodzi się także, gdy ę>'(?_o)=0, lecz y/'(t_o)=^0, z tą jedynie różnicą, że otrzymuje się równanie nieuwiklane postaci x=g(y). Tylko w tym wypadku, gdy jednocześnie

(5)    _x',= <p'(t₀) = 0    i    y'_t = y/'(t₀) = 0,

krzywa w otoczeniu rozpatrywanego punktu może się nie dać przedstawić równaniem nieuwikłanym. Taki punkt też będziemy nazywali punktem osobliwym.

W ustępie 237 zajmiemy się krótko zachowaniem się krzywej (4) w pobliżu punktu osobliwego, ale i dla krzywych określonych parametrycznie będziemy też z reguły badali tylko zwykłe punkty.

29 G. M. Fichtcnholz