0462

463

§ 1. Przedstawienie analityczne krzywych i powierzchni

Tylko w tym przypadku, gdy wszystkie trzy wyznaczniki macierzy (14) są jednocześnie równe zeru (odpowiedni punkt powierzchni nazywamy punktem osobliwym), powierzchnia może nie dać się przedstawić w ten sposób.

Oczywiście, przy omawianiu parametrycznego przedstawienia powierzchni można także wprowadzić pojęcie punktu pojedynczego i wielokrotnego: punkt pojedynczy otrzymuje się, gdy odpowiada on tylko jednej parze wartości (u, v) parametrów, a punkt wielokrotny odpowiada co najmniej dwóm parom (^x).

Wracając do równań parametrycznych (13) powierzchni ustalmy w nich wartość jednego z parametrów, np. przyjmijmy u=u₀. Otrzymujemy w ten sposób oczywiście równania pewnej krzywej

x=<p(u₀,v), y=ys(u ₀,v),    z=x(u₀,v),

której wszystkie punkty leżą na powierzchni. Zmieniając wartość u₀ otrzymujemy całą rodzinę takich linii (u). Analogicznie, ustalając wartość v=v₀, otrzymujemy także krzywą na powierzchni

X= <p(u, v₀),    y = y(u,v₀),    z = x(u,v₀).

Takie linie (u) również tworzą całą rodzinę.

Ponieważ wartości u i v można rozpatrywać jako współrzędne punktów na powierzchni, więc linie te nazywają się liniami współrzędnych na powierzchni. Jeżeli punkt powierzchni jest pojedynczy, tzn. jeżeli otrzymuje się go dla jednej pary wartości (u, v) parametrów, to przez ten punkt przechodzi tylko jedna linia z każdej rodziny linii współrzędnych.

Przeglądając różne sposoby przedstawienia analitycznego powierzchni (patrz (6), (7) i (13)) i krzywych przestrzennych ((9), (10), i (12)), można powtórzyć uwagę z końca ustępu 223: w otoczeniu zwykłego i pojedynczego punktu różne przedstawienia sprowadzają się do najbardziej poglądowego przedstawienia równaniem nieuwikłanym.

229. Przykłady. 1) Krzywa Vivianiego — tak nazywa się krzywa przecięcia powierzchni kuli, czyli sfery, z walcem kołowym, którego kierownicą jest okrąg mający jako średnicę promień kuli (rys. 127). Jeżeli osie układu obierze się jak na rysunku, to sfera i walec będą miały równania

x²+y²+z²=R²,

x²+y²=Rx.

Ten układ równań określa krzywą Vivianiego.

Krzywa ta ma postać wygiętej ósemki — w punkcie (R, 0, 0) przecina ona samą siebie; jest to punkt osobliwy. Potwierdza to rachunek. Macierz

T2x 2y 2zl

[2x-.R 2y 0 J

(’) Zauważmy, że punkty powierzchni zamkniętej (tzn. powierzchni nie mającej brzegu, np. powierzchni sferycznej) nie mogą być przyporządkowane wzajemnie jednoznacznie punktom obszaru płaskiego A na płaszczyźnie uv. W tym przypadku punkty wielokrotne wystąpią przy każdym przedstawieniu parametrycznym.