087

87

5.2. Estymacja przedziałowa

5.2.3. Przedziały ufności dla wariancji

Przedział ufności dla wariancji nie zależy od wartości oczekiwanej m = EX. Stąd tylko dwa rozważane przypadki.

Rozkład normalny, mała próba

Model I. Populacja generalna ma rozkład normalny. Nieznany jest parametr er, dla którego szukamy przedziału ufności. Próba jest mała (n < 30). Przedział ufności określony jest wzorem

Pr

nS²    ₂    ⁿ$²

— < cr < —

= 1 - a

(5.2.4)

lub równoważnie wzorem

Pr

(n-l)5² _ _₂ „

< a <

= 1 - a,

(5.2.5)

gdzie c_x i c₂ spełniają równania

Pr(Z² <c_x)= Pr(z² > c₂) = a/2

dla zmiennej losowej %² o rozkładzie chi-kwadrat on-1 stopniach swobody. Zwróćmy uwagę, że tak otrzymany przedział ufności nie jest symetryczny względem s².

Założenie, że próba jest mała ma charakter czysto rachunkowy - dla n > 30 rozkład chi-kwadrat jest na tyle zbliżony do normalnego, że tablice zawierają na ogół wartości tylko do n = 30.

Rozkład normalny, dm próba

Model II. Populacja generalna ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego i próba jest duża, (n > 30). Wtedy przedział ufności dla odchylenia standardowego wyraża się wzorem

< cr <

1 - a

)

(5.2.6)

gdzie u_a jest takie, że Pr(|t/| > u_a) = a oraz U ~ N(0,1).

5.2.4. Zadania

5.2.1.    Dla danych —0.01, 0.19, 0.09, —0.18, 0.40, oszacować na poziomie ufności 0.9 wartość oczekiwaną. Wiadomo, że rozkład cechy w populacji jest normalny. Wariancja jest znana, a² = 0.04.

5.2.2.    Dla danych -0.23, 0.61, -0.85, -0.72, -0.39, 0.73, oszacować na poziomie ufności 0.9 wartość oczekiwaną i wariancję. Wiadomo, że rozkład jest normalny.