rpism

Przedział ufności

Przedział ufności jest podstawowym narzędziem estymacji przedziałowej.

Def,: Niech cecha A'ma rozkład w populacji z nieznany m parametrem 0, Z populacji wybieramy próbę losowa (Aj. Aj.Aj), Przedziałem ufności (0 - 9t, 0 + 0₂) o współczynniku ufności 1 - a nazywamy taki przedział (0 - 0i, 0 + 0₂), który spełnia warunek:

P(0i < 6 < 02) = I - a

gdzie 0i i 02 są funkcjami wyznaczonymi na podstawie próby losowej.

Podobnie jak w przypadku estymatorów definicja pozwala na dowolność wyboru funkcji z próby, jednak tutaj kryterium wyboru najlepszych funkcji narzuca się automatycznie -zazwyczaj będziemy poszukiwać przedziałów najkrótszych.

Współczynnik ufności 1 - a jest wielkością, którą można interpretować w następujący sposób: jest to prawdopodobieństwo, że rzeczywista wartość parametru 0 w populacji znajduje się w wyznaczonym przez nas przedziale ufności Im większa wartość tego współczynnika, tym szerszy przedział ufności, a więc mniejsza dokładność estymacji parametru. Im mniejsza wartość 1 - a, tym większa dokładność estymacji, ale jednocześnie tym większe prawdopodobieństwo popełnienia błędu. Wybór odpowiedniego współczynnika jest więc kompromisem pomiędzy dokładnością estymacji a ryzykiem błędu. W praktyce przyjmuje się zazwyczaj wartości: 0,99, 0,95 lub 0,90, zależnie od parametru

Przykłady przedziałów ufności

Ponieważ szukamy jak najkrótszych przedziałów ufności, dlatego przy wyznaczaniu przedziału staramy się wykorzystać jak najwięcej dostępnych informacji o rozkładzie cechy w populacji. Jeśli np, cecha ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym o, to zastosowanie wzoru na przedział ufności dla nieznanego o również da poprawny wynik, jednak przedział otrzymany tą metodą będzie szerszy, czyli mniej dokładny. Z kolei wzory ogólniejsze, np. dla nieznanego rozkładu, często korzystają z rozkładów granicznych estymatorów i dlatego wymagają dużej liczebności próby.

Przedział ufności dia średniej

Rozkład normalny

Znane odchylenie standardowe

Cecha ma w populacji rozkład normalny N(m, o), przy czym odchylenie standardowe o jest znane. Przedział ufności dla parametru m tego rozkładu ma postać:

gdzie

*    n to liczebność próby losowej

*    A oznacza średnią z próby losowej

*    .v to odchylenie standardowe z próby

*    jest statystyką, spełniającą warunek