DSCF6538

32

3.2.4. Przykład (granice przedziału ufności)

Jeśli przedział ufności jest ograniczony obustronnie, jak na rys. 3.3, wówczas prawdopodobieństwo znalezienia w nim wartości średniej określa wyrażenie:

Prób (ui __a/2 < u < %ł) = 1 — a

czyli:

ProbiUi-a/i < Ą - < u«_/2) = 1 - a.

Ponieważ dla rozkładów symetrycznych względem zera (w szczególności dla rozkładu normalnego) spełniony jest związek: Ui-_a/2 = — “«/2> ostatnie wyrażenie można przepisać w postaci:

Probffi_x — °^xU‘l-<x^/i +    ^ = 1 — cc, albo krócej: xe(n_x±

| yjn    Wg )    | V» J

Rys. 3.3. Obustronnie ograniczony przedział ufności, zawierający wartość zmiennej losowej U z prawdopodobieństwem 1 — a

Wartość średnia może z prawdopodobieństwem a/2 okazać się mniejsza od lewej granicy przedziału ufności i z takim samym prawdopodobieństwem a/2 większa od prawej granicy przedziału. Można również powiedzieć inaczej: przy wielokrotnym powtarzaniu pomiarów wartości średniej z próbek o ustalonej liczebności, ok. (1 - a) wszystkich wyników trafi do znalezionego przedziału ufności; ok. a/2 na lewo i ok. a/2 - na prawo od granic przedziału.

3.2.5. Rozkład %²

Jeśli próbka o elementach (uj, u₂, ..., u„) została pobrana z rozkładu N (0, 1), wówczas suma kwadratów:

(3.10)

(3.11)

(3.12)

x²=Ź«i

i=i

ma rozkład x^{2 z n} stopniami swobody. Wartość oczekiwana:

E[xl] = k

Wariancja:

V[xl\ = 2 k

3.2.6. Rozkład Studenta t

Rozkład Studenta określimy, wykorzystując (bez przytaczania dowodu) natępujące twierdzenie: jeśli Y i U są niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym Y ma rozkład xŁ ^a V rozkład N(0, 1), wówczas nowa zmienna:

ma rozkład t Studenta z k stopniami swobody (nazwa rozkładu pochodzi od pseudonimu Student, pod jakim w 1908 r. opublikował rozkład W. Gosset).

CO

Wartości Prob(t_k > t*_i8) = | f(t_k)dt_k zawiera tab. IV na końcu opracowania.

Można je również odczytywać za pomocą funkcji tinv w arkuszu kalkulacyjnym Exccl. Rozkład Studenta jest szerszy od normalnego; dla dużych k rozkład t dąży do rozkładu N(0, 1).