077

77

5.2. Estymacja przedziałowa

b)    Jaki przedział ufności otrzymamy dla przeciętnej stratności na poziomie ufności 1 — a — 0.98 zakładając, że błąd pomiaru jest normalny N(0, er), gdzie a = 0.05?

c)    Wyznaczyć przedział ufności dla średniokwadratowego błędu pomiarowego stratności (czyli dla a) na poziomie ufności 0.9 zakładając, że błąd pomiaru ma rozkład normalny.

Rozwiązanie.

a) Ponieważ liczba pomiarów jest mała i wielkość mierzona ma rozkład normalny o nieznanej wariancji, więc przedział ufności dla średniej jest postaci

^la ,-r-

V« — 1

< m < x + t₀

sfn-

gdzie t_a odczytuje się z tablic wartości krytycznych rozkładu r-Studenta dla n - I --- 9 stopni swobody, tak aby Pr(|r| > t_a) = 0.02, tj. r₀₀₂ = 2.8214. Dla otrzymanych wyników x= 1.5010 oraz s² = 0.0022. Przedział ufności dla m jest więc postaci

1.5010-2.8214

70.0022

<m< 1.5010 + 2.8214

70.0022

V9~

czyli 1.4572 <m< 1.5448.

Błąd maksymalny oszacowania m wynosi (1.5448 - 1.4572)/2 = 0.0438.

b) Ponieważ rozkład cechy jest normalny o znanym odchyleniu standardowym, to przedział ufności budujemy według wzoru

cr    cr

x — u_a —j= < m < x + u_a    ,

s/n    7«

gdzie u_a jest liczbą odczytaną z tablic rozkładu normalnego N(0,1) taką, że d?(u_a) = 1 - a/2. Dla 1 — a = 0.98 (tzn. dla a — 0.02) odczytujemy z tablic wartość u_a = 2.326. Otrzymujemy zatem następujący przedział ufności dla średniej stratności

1.5010-2.326^ <m< 1.5010 +2.326    ,

TTo    Tło

czyli 1.464 < m < 1.538.

Maksymalny błąd oszacowania wynosi (1.538 — 1.464)/2 = 0.037 i jest mniejszy od otrzymanego w poprzednim punkcie, bo teraz posiadamy więcej informacji o rozkładzie (znane jest cr).

c) Rozkład stratności jest normalny, więc przedział ufności dla wariancji ma postać

nS² ₂    ⁿ$²

— < cr < —,

c₂    q

gdzie stałe Cj i c₂ odczytujemy z tablic wartości krytycznych rozkładu chi-kwadrat o n - 1 = 9 stopniach swobody tak, aby Pr(^² < c,) = Pr(^² > c₂) = a/2. Dla 1 - a =