115833

Estymacja przedziałowa

Przedział ufności:

-    jego końce 6 i=0 i(Xi,...,X„) oraz 0 2=6    są funkcjami próby losowej i nie

zależą od parametru 6

-    P(# i(Xi,...,X_n) < 6 < 0 2(Xi,...,Xn)) = 1 - a, gdzie 1 - a to współczynnik ufności.

I. Przedziały ufności dla nieznanej wartości przeciętnej

Model 1. ( cecha X ma rozkład N(m, cr)o nieznanej wartości przeciętnej m i znanym odchyleniu standardowym o). Zadl

Bierzemy statystykę X = — V X, , która ma rozkład N(m,—=) i ją standaryzujemy: n ,    vn

U — _-yfn- Statystyka U ma rozkład N(0,1).

a

Następnie mamy:

= 1 -a

a po przekształceniach wchodzi

przedział: X ~]=U _a<m<X+—==U _a, gdzie *^i_f5tokwantyl rzędu 1—— Vn ^l~2    -Jn^l2    *    2

(odczytywany z tablic).

Model 2. (cecha X ma rozkład N(m, er) o nieznanej wartości przeciętnej m i nieznanym odchyleniu standardowym a). Zad2

Do obliczeń wybieramy statystykę t-Studenta o n-1 stopniach swobody, bo nie zależy ona od nieznanych parametrów.

t -    i_n_i Poprzez analogię do modelu 1 (zamiast a wpisujemy S; zamiast U

S

mamy t i zamiast Jn mam yjn-l) zapisujemy przedział:

X — f (1 —— cx, n —1) . ^ - < m < X + t(l - — cc, n-1) , ^ -2 2

II. Przedziały ufności dla wariancji i odchylenia standardowego.

Model 1. (cecha X ma rozkład N(m,cf)o nieznanych m i O; próba liczności n ^ 50) zad3

nS-

Wykorzystamy tutaj statystykę chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody: x'

P(X²(ⁿ~h —) < —r < X²(ⁿ~    ^_ —)) = 1 -cc . Po odpowiednich przekształceniach

2    <7*    2

nS‘

mamy:    _2/i    1

- x²(l--a,n-\)

<cr <

nS²

X²(ia, n-1)

Model 2. (cecha X ma rozkład N(m, cf) ₀ nieznanych m i o; próba liczności n > 50) zad4