140 141 (3)

A**U

waną przez wektory fcj = (2, 1,3], k? = (—1,3.2) Mamy

5₀ = (2r₀ - yo, *o + 3y₀,3z₀ + 2y₀)

w — uc = (5 — 2z₀ + ya, 4 — xo - 3yo, 1 — 3x₀ - 2yc)

Warunki ortogonalności wektora £ — £o do generatorów przestrzeni V prowadzą do układu równań

u — Uc ° (2,1,3)= —I4z:o — 7yo + 17 = 0 u — io o ( — 1,3, 2) = —7r₀ — 14yo —9 = 0

Stąd

Xn =

25

21

Na rysunkach poniżej przedstawiono dwie różne interpretacje otrzymanego wyniku

R-u

b) Przybliżone rozwiązanie (to.yo, zo) znajdziemy jako współrzędne rzutu ortogonalnego tio wektora i = (1, — 1,0, l) na podprzestrzeń generowaną przez wektory ki = (1,0,1,0), k₂ =(0,1,-1.0), k3 =(1,1.1,1). Mamy

uo = (r₀ + *o,yo + *o,rc - yo + *o,*o) u — £<, = (1 — ro - *o, i — yo — *o, 1 — zo — yo — *o» 1 — *o)

(

Warunki £ - £₀ -L (1,0,1,0), £ - tło J. (0,1,-1,0), fi - io -L (1,1,1,1) prowadzą do układu równań

—2xo + yo — 2 Zq = —1 *o — 2yo =    1 .

-2zo — 4zo = —1

Rozwiązanie tego układu ma postać xq = 0, yc = — i, zq = j. Zauważmy, że otrzymana

i    a

wartość zq różni się znacznie od wartości z = 1 podanej w C2wartym równaniu wyjściowego układu równań.

Czternasty tydzień - zadania    -    141

¹ A^TB mamy

_ _		• 0 ‘			—1
1 2 3				14 7'		21
2 1 1		8 . 1 .		7 6		13

1	126-91	1	’ 35 '		1
35	-147 + 182	~~ 35	35	—	1

c) Wykorzystując wzór Xc = {A‘ A)

Zadania

O Zadanie 14.1

Sprawdzić, /jc. podane wektory są ortogonalne do wskazanych podprzestrzcni przestrzeni cuklidesowych:

a)    E₀ = lin {(2,0, 3,1), (-1,1,2,0), (1.1,0,1)}, v = (1,1,0, -2) 6 E*\

b)    Eq = i£i[r], pc = 6x² - 6x + 1 w przestrzeni Ra[x] z iloczynem skalarnym określonym wzorem

i

0

(P.9) =

O Zadanie 14.2

Znaleźć rzuty ortogonalne podanych wektorów na wskazane podprzestrzenie przestrzeni euklidesowych:

a)    2    =    (3,— 1, 1)    6 E'^:    Eq jest płaszczyzną 7r : 2z — y +    3z =    0 w    E"

b)    u    =    (3,1,2,0)    6 £*,    E₀ =    lin    {(1,2,1.2),(0,1,1,1));

c)    2    =    (0, 1,1,1)    es⁴.    E₀ =    lin    {(1,1,1,0),(0,1,0 2));

d)    u    =    (1,0,0,0)    e E\    E₀ =    lin    {(1,1,0,0),(0,1,2,0),(0,0,3,4));

e)    u =(0,2,-l,3)e E⁴

E₀ = {{*, y, z,t) G E^A : x + y + 3< = y+ z = x - y + z — 31 = 0}:

f)    / = x, E₀ = lin {l.cosr} w przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale [0, 2ir] z iloczynem skalarnym określonym wzorem

2*

(/, ff) = J flx)g(x)dx-,

o

g)    u = (1,1, 1), J?o = lin {(0,1,1), (0,0, 1)} w przestrzeni R³ z iloczynem skalarnym wektorów z = (x1.x2.i3), y = (j/i,y2»V3) określonym wzorem

(z, y) = 2r,y! -f z₂y₂ + x₃y₃ - Xiy₃ - x₃yi

O Zadanie 14.3

Wyznaczyć rzuty ortogonalne podanych wektorów na podprzestrzenie o wskazanych bazach ortogonalnych: