140 141 (3)

Przestrzenie euklidesowo

waną przez wektory kj = (2. 1,3], fcj = (—1,3.2) Marny

So = (2ro — yo, *o + 3yo, 3zo + 2y<>) u — «c = (5 — 2zo + ya, 4 — *o - 3yo, 1 — 3zo - 2yc)

Warunki ortogonalności wektora ti - *o do generatorów przestrzeni V prowadzą do układu równań

ii - uc o (2, 1,3) = —14zo — 7yo +17 = 0 u — io o ( —1,3, 2) = — 7zo — 14yo +9 = 0

Stąd

25

x₃ =

yo =

21

21

Na rysunkach poniżej przedstawiono dwie różne interpretacje otrzymanego wyniku

b) Przybliżone rozwiązanie (zo.yo, *o) znajdziemy jako współrzędne rzutu ortogonalnego «o wektora ii = (1, -1,0,1} na podprzestrzeń generowaną przez wektory kj = (1,0, l, 0), k₂ = (0, l, —1,0). ki =(1,1.1,1). Mamy

uo = (ro + zo, yo + zo, rc - yo + «o. z₀)

u — io = (1 — zo - zo, 1 — yo — zo, 1 — zo — yo — *o. 1 — zo)

Warunki ti — tł₀ JL (1,0,1,0), tł — tło JL (0,1, -1, 0), u - €o 1 (1,1,1,1) prowadzą do układu równań

2zo + yo — 2zo = —1 *o — 2yo =    1 •

—2zo ^_ 4zo = — 1

Rozwiązanie tego układu ma postać xo = 0, yc = — zo = j. Zauważmy, że otrzymana wartość zo różni się znacznie od wartości z = 1 podanej w czwartym równaniu wyjściowego układu równań.

14 7 7 6

[ ^6 -^71	M	=	126-91	1	’ 35 '		1
-7 14 J	L i^3 J	35	-147 + 182	“ 35	35		1

c) Wykorzystując wzói A'c = (-4 A) A^T B mamy

-i!!

1    2 3

2    1 1

i

21 13

Zadania

O Zadanie 14.1

Sprawdzić, że podane wektory są ortogonalne do wskazanych podprzestrzeni przestrzeni nuklidesowych:

a)    Eo = lin {(2,0,3,1),(-1,1.2,0),(1,1,0,1)}, * = (1,1,0,-2) € JP⁴;

b)    Ec = i£i[r], Pc = 6r² - 6ar + 1 w przestrzeni .R2M z iloczynem skalarnym określonym wzorem

1

(P.?) = j p[x)q(x)dx

o

O Zadanie 14.2

Znaleźć rzuty ortogonalne podanych wektorów na wskazane podprzestrzenie przestrzeni euklidesowych:

a)    2    =    (3, — 1, 1) 6    E'    Eq jest płaszczyzną 7r: 2r — y +    3*    =    0    w

b)    u    =    (3,1,2,U) 6    i'⁴,    Eo=    lin    {(1,2,1,2), (01 1,1)};

c)    2    =    (0, 1,1,1)6    E\    E₀ =    lin    {(1,1,1,0), (0,1,0,2)};

d)    u    =    (1,0,0,0) 6    E\    E₀ =    lin    {(1,1,0,0), (0,1,2,0),(0,0,3,4)};

e)    ; = (0,2,-l,3)eI⁴

Eo = {{x,y,z,t)e E* : X + y + 31 = y + z = x - j/-r z - 31 = 0};

f)    /= X, Eq = lin {l.cosr} w przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale [0, 2t] z iloczynem skalarnym określonym wzorem

2 *

(/, ff)-j /(^r)ff(^zW^r;

o

g)    u = (1,1,1), E₀ = lin {(0,1, 1), (0.0, 1)) w przestrzeni ii³ z iloczynem skalarnym wektorów x — (xi_łX2_łX3), j/ = (*/i»5/2>y3; określonym wzorem

(z, y) = 2r,yi + x₂yz + *3 to - *it/3 - x₃yi

O Zadanie 14.3

Wyznaczyć rzuty ortogonalne podanych wektorów na podprzestrzenie o wskazanych bazach ortogonalnych: