14z Całka krzywoliniowa nieskierowana jej własności zastosowanie i NP

10.Całka krzywoliniowa nie skierowana jej własności zastosowanie i NP.

Definicja. Krzywą C nazywamy regularną jeśli można ją przedstawić w postaci x=g;(t)_: y=h(t)_: a<t<b. gdzie g^: i h⁵ są funkcjami ciągłymi i nie są równocześnie równe zero w [a_; b].

Symbolem J_c f(x,y)ds oznaczamy całkę krzywoliniową nie skierowaną

Własności: Jeżeli istnieje całka krzywoliniowa nieskierowana z funkcji f i g na krzywej L to 1 )f_L cf(x,y)dl = c J_L f(pc,y)dl \

gdzieceR 2)f_L f(x,y)dl = f_L1f(x,y)dl ± f_L2 f(x,y)dl gdzie L1 uL2=L L1 DL2= {P} przy czym P jest punktem krzywej L który dzieli tą krzywą na dwie krzywe Li IL₂ .

Zastosowanie całki krzywoliniowej nieskierowanej:

Jeżeli ATjest krzywą materialną, której gęstość w punkcie P(x.y) jest równa p(x.y)_: to masa m krzywiej K oraz współrzędne środka

ciężkości: (x<)_ryo) wyrażają się wzorami: m = f_Kp(x, y)dl *o = ^ f_K y • p(x,y)dl y₀ = ^ f“ x ■ p(x, y)dl NP. f_K (pc — y)dl gdzie K jest odcinkiem o końcach A(0_:0) i B(4.3) K:v=-x 0< x < 4

4    _

£(x-y)dl = f₀⁴(x-^x)ll+ frdx = ±x;f₀⁴xdx =^x