CCF20090601013

y 4 =

p₃ +5e^X3 sinx₃ ■ * _ 0,6481 + 5e⁰'⁶ sin 0,6-0,2

1 + 2 *

1 + 2 • 0,2

1,1978

c) Metoda Heuna: krok * = 0,5 => wektor x = [0; 0,5; 1; 1,5; 2; ... ] => xo = 0, xj = 0,5, x₂ — 1, itd. Warunek początkowy: p(xo) = po — 0,3. Algorytm jest następujący:

-    pierwszy predyktorp\, =J[x_b p,) = 5 e^A' siar, - 2p„

-    pierwsze przybliżenie: po,- =p, + * p\„

-    korektor: k, = f[x_i+\, po,) = 5 e^x,+1 sinx,+i - 2po„

-    drugi predyktor: p₂, = 0,5(p\, + k,),

-    drugie przybliżenie: y_i+\ = p, + hp_2i.

Dlatego:

Pio = 5 e'° sinxo - 2yo = 5 e° sinO - 2-0,3 = -0,6 Joo =^0 + hpio = 0,3 + 0,5-(-0,6) = 0 ko = 5 e^vl siari - 2poo = 5 e⁰"'¹ sin0,5 - 2-0 = 3,9522 p₂₀ = 0,5(p,o + k₀) = 0,5(-0,6 + 3,9522) = 1,6761 pi = Jo + h P20 — 0,3 + 0,5-1,6761 = 1,1381.

pn = 5 e^Al sinri - 2pi = 5 e⁰ ' sin0,5 - 2-1,1381 = 1,6761 poi =y\+hp_u = 1,1381 + 0,5-1,6761 = 1,9761 *i=5 e^x2 sinx₂ - 2p₀, = 5 e¹ sini - 2-1,9761 = 7,4846 P2i = 0,5(p„ + *,) = 0,5(1,6761 + 7,4846) = 4,5803 y₂ =y\+h P21 = 1,1381 + 0,5-4,5803 = 3,4282.

P12 = 5 e^v2 siax₂ - 2p₂ = 5 e¹ sini - 2-3,4282 = 4,5803 p₀₂ =P2 + hp_n = 3,4282 + 0,5-4,5803 = 5,7184 kj = 5 e^x3 sinx3 - 2po₂ ⁼ 5 e¹'⁵ sini,5 - 2-5,7184 = 10,9155 P22 = 0,5(pi₂ + k₂) = 0,5(4,5803 + 10,9155) = 7,7479 y₃ =yi + h P22 = 3,4282 + 0,5-7,7479 = 7,3022.

Pi3 = 5 e*³ sinx3 - 2p3 = 5 e¹⁵ sini,5 - 2-7,3022 = 7,7479 p₀₃ = yi +/z pis = 7,3022 + 0,5-7,7479 = 11,1762 *3 = 5 e^v4 sinx₄ - 2p₀₃ = 5e² sin2 - 2-11,1762 = 11,2419 p₂₃ = 0,5(pi₃ + *₃) = 0,5(7,7479 + 11,2419) = 9,4949 y₄ = y₃ + h p₂₃ = 7,3022 + 0,5-9,4949 = 12,0497.

d) Metoda Rungego-Kutty IV rzędu: krok h = 0,5 => wektor x i warunek początkowy - jak w c). Algorytm jest następujący:

-    1-szy predyktor: p\, = /(x„ p_;) = 5 e^A' sinx, - 2p„

-    1-sze przybliżenie: y\, =y, + 0.5*pi„

-    2-gi predyktor: p₂, =/(x, + 0,5*, yu) = 5 e^A'' ^0,5/1 sin(x, + 0,5*) - 2pi„

-    2-gie przybliżenie: y_2i ~y/ + 0,5* p₂„

-    3-ci predyktor: p_3i =/(x, + 0,5*, p₂/) ⁼ 5 e^A' °'^5h sin(x, + 0,5*) - 2p₂,-,

-    3-cie przybliżenie: p3, = p, + *p_3i,

-    4-ty predyktor: p_4; =fix_i+h y_3l) = 5 e^A,+l sin(x,₊₎) - 2y_3i,

-    ostateczne przybliżenie: p,+i = p, +^xl_b h (pi, + 2p_2/ + 2p₃\ + p4,).

Dlatego:

Pio = 5 e^A° sinxo - 2po ~ 5 e° sinO - 2-0,3 = -0,6 Pio =Po + 0,5*pio = 0,3 + 0,5-0,5-(-0,6) = 0,15

p₂₀ = 5 e^x0+0-^5h sin(x₀ + 0,5*) - 2p,₀ = 5 e^0+0,25 sin(0 + 0,25) - 2-0,15 = 1,2884

14