CCF20091117004

234

CIĄGI

Omówimy teraz przykłady kilku ciągów.

		\
= I	b - ^1 ^vn--5- /?-	\
		1 1
n^3	d ~ ^1n nio	1 1 1

-> Obok zapisano przykłady kilku ciągów postaci ^an = gdzie k jest liczbą naturalną. Każdy z tych ciągów jest ciągiem zbieżnymi, gdyż o każdym z nich możemy powiedzieć, że prawie wszystkie jego wyrazy leżą dowolnie blisko liczby 0.

Ćwiczenie C. Zapisz kilka początkowych wyrazów ciągu typu a_n = gdzie k jest liczbą naturalną różną od 0, i ustal, jaka jest granica tego ciągu.

Ogólnie dla dowolnej liczby naturalnej k > 0 zachodzi równość:

lim —r=0

n-co n^K

-ż Łatwo również zauważyć, że każdy ciąg stały jest ciągiem zbieżnym. Granicą ciągu stałego a_n = c jest liczba c.

lim c = c

H — oo

'    / i \ n    >

j fln = (£) fe„ = (-2)"    |

i *-(!)" i

Obok zapisano przykłady kilku ciągów geometrycznych postaci a_n = qⁿ.

Ćwiczenie D. Oblicz kilka początkowych wyrazów' każdego z tych ciągów. Które z tych ciągów są zbieżne?

Ciąg geometryczny typu a_n = qⁿ jest zbieżny, jeśli q e (-1; 1 >. Natomiast jeśli q e R\(-l; 1), to ciąg geometryczny a_n = qⁿ jest rozbieżny, przy czym:

Jeśli q £ (-1; 1), to lim qⁿ = 0.    Jeśli q = 1, to lim qⁿ = 1.

rt — co    M — CO

Jeśli q > 1, to lim qⁿ = +<x>.

n — co

Jeśli q e (-oo,-l), to ciąg a_n = qⁿ jest rozbieżny (ale nie jest rozbieżny ani do +oo, ani do -oo).

-4 Rozwużmy teraz ciąg określony wzorem:

Ćwiczenie E. Oblicz trzy początkowe wyrazy tego ciągu.

Ciąg ten jest zbieżny'. Liczbę równą jego granicy oznaczamy literą e. Oznaczenie to wprowadził w 1736 roku szwajcarski matematyk Leonhard Euler.