matma2

to całka szczególna y_x(x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci.

be?*, gdy a nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego dla równania jednorodnego (7.2),

x^kb t°~^c, gdy a jest pierwiastkiem o krotności k ^ 1 równania charakterystycznego dla równania jednorodnego (7.2),

gdzie współczynnik b należy wyznaczyć.

6° Jeżeli prawa strona f(x) równania (7.1) jest postaci:

f(pc) = PJpc)cos_Px + Qn(x) sinJgŁu.

gdzie: P„(x) i Q„(x) są wielomianami, z których jeden jest stopnia n, a drugi co najwyżej stopnia n, to całka szczególna yi(x) równania niejednorodnego (7.1) jest postaci:

R_n(x) cos px + S„ (x) sin px, gdy liczba zespolona z = Pi nie jest pierwiastkiem równania charakterystycznego dla równania (7.2),

y i (*) =

(R„ (x) cos Px + S_n(x) sin px), gdy liczba zespolona z = Pi jest pierwiastkiem o krotności k ^ 1 równania charakterystycznego dla równania (7.2),

gdzie: R_n(x) i S„(x) są pewnymi wielomianami o własnościach analogicznych, jak P_n(x) i Q„(x), których współczynniki należy wyznaczyć.

" 'MUotla druga (wariacji stałych dowolnych). Jeżeli prawa strona równania liniowego niejednorodnego (7.1) jest takiej postaci, że nie potrafimy odgadnąć postaci całki szczególnej równania niejednorodnego (7.1), stosujemy metodę ogólną wariacji stałych dowolnych. Metoda ta została podana w jednym z poprzednich punktów (por. 20.4) dla równania różniczkowego rzędu drugiego. Dla równania liniowego rz-tego (n ^ 3) rzędu (7.1) metoda ta przedstawia .się następująco:

1° Znajdujemy najpierw całkę ogólną równania jednorodnego (7.2) odpowiadającego równaniu (7.1) Przypuśćmy, że jest ona postaci:

(7.3)    y = C₁y₁ (*) 4 C₂y₂(x) 4 ... + C„y_n(x).

2° Zakładamy następnie, że stałe C_k (k = 1,...,??) występujące po prawej stronie (7.3) są funkcjami zmiennej x, innymi słowy uzmienniamy stałe. Wzór (7.3) przyjmuje wówczas postać:

(7.4)    y = C_x (x)y₁ (x) 4 C₂ (x) y₂ (x) 4 ... 4 C„ (x) y_n (x).

3° Nieznane funkcje C_k(x)(k— 1,...,«), a właściwie ich pochodne Ć_k (x) (k = \,.... ri), wyznaczamy z następującego układu równań:

y i (^x) + C₂ (x) y 2 (x) 4 • • • 4 C'_n (x) y_n (x) = 0    |

Ci (x) y\(x) + Q (x) a W + • • • + c; (X) A (x) = 0

(7.5)    c; (x)    A(x) + Ci (x) y'i(*) + ... + Ci (x) tf (x) = 0    }

c; (x)    (x) + Ci (x)    y%-»(x)+ (x) (x) -=/(*). i

4° Rozwiązując układ równań (7.5) względem C'_k{x) (k = 1, . .n), otrzymujemy:

(7.6)

Wk (x) W(x) ’

gdzie: W(x) oznacza wyznacznik charakterystyczny układu (7.5), zwany wyznacznikiem Wrońskiego (wrońskianem):

yi 0)	yz (pc)	yn{x)
	yź (*)	y'n(x)
(po	0)	■ • • 0)

oraz gdzie W_k (k = 1,..., n) oznaczają wyznaczniki, które otrzymujemy z wyznacznika W, zastępując w nim kolejno kolumnę pierwszą, drugą itd. kolumną wolnych wyrazów układu (7.5).

5° Całkujemy teraz równania (7.6). Mamy wtedy:

(7.7)    C_k (x) =^Wffidx, k=l,...,n,

gdzie opuszczono stałe całkowania, gdyż chodzi o całkę szczególną.

6° Podstawiając (7.7) do (7.4), otrzymujemy szukaną całkę szczególną równania niejednorodnego (7.1).

Uwaga 1. Przy wyznaczaniu całki szczególnej równania liniowego niejednorodnego (7.1) bardzo praktyczne i pożyteczne okazuje się następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2. Jeżeli>t(*) orazy₂(.v) są odpowiednio całkami szczególnymi równań:

y⁽ⁿ⁾ + a+ a₂y^Ul~²⁾ + ... + <*n—i / -f a_ny = f₁ (*),

oraz

>⁽ⁿ⁾ + a₁y⁽'^,_,) -f a₂/ⁿ~²⁾ -ł- . . . + a_n_₁ y' -f a_n y =f₂ (x),

to funkcja y₂(x) + y₂(x) jest całką szczególną równania:

y⁽ⁿ⁾ + a₁y⁽ⁿ~¹⁾ + a₂y⁽ⁿ~⁷⁾ + ... + a_nmml y' + a_ny = A (x) + f₂ (x).

Uwaga 2. Jeżeli obok siły sprężystej — kx oraz siły — / •    , wynikającej z oporu

ośrodka, działa na punkt materialny m dodatkowa siła zewnętrzna f(t) zależna od czasu, to równanie różniczkowe ruchu przyjmuje postać:

dx

~dt

d²x . m -r-TT — — kx — dt²

czyli: (7.8)

m

d²x ^ . dx dt² dt

+ kx=f(t).

Równanie (7.8) obrazujące drgania mechaniczne wymuszone jest, jak widać, równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym rzędu drugiego o współczynnikach stałych.

285