Monotoniczność funkcji (2)

2

Wyrażenie x(2 - x) określa parabolę, która jest równa zeru w punktach x = 0, x -2. Wykres paraboli x(2 - x) pokazany jest na rysunku

x

Stąd funkcja y(x) =-jest:

1 — x

-    rosnąca w przedziałach (0,1) oraz (1, 2)

-    malejąca w przedziałach (-co, 0) oraz (2, + oo)

x²

Punkt x = 1 nie należy do obszaru określoności funkcji y(x) =-.

1 -x

Zadanie 2. Zbadać monotoniczność funkcji y(x) = x + —.

x

Rozwiązanie. Funkcja y jest określona na całej osi liczbowej R z wyjątkiem x = 0 i jest różniczko walna w swoim obszarze określoności. Pochodna y jest równa

(x-l)(x + l)

,₍ ,    ,    1 x²-l

y (x) = 1--_T = ——

X X

Znak wyrażenia ——⁺ ^ zależy od znaku licznika, gdyż mianownik jest większy od zera x

w każdym punkcie osi liczbowej R z wyjątkiem punktu x = 0, w którym jest równy zeru. Wyrażenie (x - l)(x +1) określa parabolę, która jest równa zeru w punktach x = -1 , x = 1. Wykres paraboli (x - l)(x +1) pokazany jest na rysunku