skanuj0036 (2)

Ciągi ograniczone

;r trzmy ciąg o wzorze ogólnym a_n = 20n—n². Po-

rek: we wyrazy tego ciągu (wykres obok) to: 19, 36, 4 “5, ... Czy ciąg ten może przyjmować dowolnie Hr wartości?

80

70

60

50

II przystając ze wzoru na współrzędne wierzchołka 40 ■boli dla funkcji f{x) = 20ar - x², otrzymujemy ₃₀ 1= 100 (sprawdź). Ponieważ parabola ma ramiona 20 ■nwane w dół, więc stwierdzamy, że a_n < 100 dla

j.o _ n G N₊. Ciąg (a_n) jest więc ograniczony p ry -przez liczbę 100.

O 1    2 3 4 5 x

DEFINICJA

ią (a_n) nazywamy ograniczonym z góry, jeśli istnieje liczba M taka, że 7 M dla każdego n € N+.

(Łśiważ, że w definicji nie wymagamy wskazania najmniejszej liczby ograli; zcej dany ciąg z góry. W przykładzie wyżej ciąg (a_n) jest ograniczony In również przez liczby 105, 110, 200 itp.

ie 1

lka liczb ograniczających ciąg (a_n) z góry.

2

b) a_n = lOOn — 2n²    c) a_n - —n² -(- 14n — 40

;k obok przedstawia wykres ciągu W ego z góry przez liczbę M. Wszyst-    ^ar>

y wykresu leżą poniżej prostej _a\ na tej prostej. Zaznaczając wyrazy >i liczbowej, zauważamy, że wszyst-należą do przedziału (—00, M).    _

o ^a'² 0/3 °⁴    °'⁵ ttf> ^a? M

rżenie 2

czy ciąg (a_n) jest ograniczony z góry.

2n+l

n

Ti

c) a_n = 3n + 1    d) a_n. = —

4.5. Ciągi ograniczone 187