skrypt wzory i prawa z objasnieniami26

50

Pole sił zachowawczych (potencjalnych)

■    Jeśli dla pola sił zachodzi związek podany w punkcie 21.1, to mówimy o polu sił potencjalnych F.ncrgia potencjalna to wielkość, której różnica w dwóch punktach pola równa jest pracy sił pola polegającej na przesunięciu ciała z jednego punktu do drugiego Oczywiście wartość różnicy energii potencjalnych nie zmieni się, jeśli do odejmowanych od siebie wartości dodamy pewną stałą. Tak więc energia potencjalna jest wielkością określoną z dokładnością do stałej. Zazwyczaj wartość tej stałej zadajemy określając, gdzie energia potencjalna ma się zerować (patrz komentarz do punktu 17)

B_t-+ .

■    Jeśli pole sił jest polem sił zachowawczych, czyli całka j F d r nie zalezv

A

od drogi całkowania, to z matematycznego punktu widzenia, istnieje funkcja.

—^^

której różniczka zupełna spełnia związek d/ = Fd r Wtedy zachodzi

\ F d? = J 4 A    A

—►    _k

Hnergię potencjalną określamy następująco dBp = -df = - Fdr lak więc pole sił zachowawczych jest zawsze polem sił potencjalnych Twierdzenie w przeciwnym kierunku (pole sił potencjalnych jest polem sił zachowawczych) jest prawdziwe dla sił niezależnych od czasu W zadaniach często jest mowa właśnie o takich siłach i wtenczas pojęcia "siły zachowawcze'' i 'siły potencjalne' można ze sobą utożsamiać ■ Mając zadaną siłę można wyznaczyć przy pomocy równania z punktu 21.2 energię potencjalną W tym celu należy rozwiązać układ trzech skalarnych równań różniczkowych:

SEpCw)

(bc

Cy

F_x(x_yy,ż)

F_y(x,y,z)

r_:{x,y,r)

dt:_p{xy.z)

■ Jeśli ciało porusza się tylko pod wpływem sił pola zachowawczego, to wówczas, zgodnie z równaniem z punktu 211.

^WA +B - "

Ale równocześnie, zgodnie z ogólną zasadą, według której praca siły powodującej ruch cząstki równa jest przyrostowi jej energii kinetycznej, mamy

^WA->B =

Z porównania dwóch powyższych wzorów wynika zasada zachowania całkowitej energii mechanicznej w polu sił zachowawczych, gdyż Abp + A/*. £ = 6 .

Dynamika punktu materialnego

51

21.1 Energia potencjalna

[praca sił pola przesuwających ciało z dowolnego punktu A do dowolnego punktu B

^WA-^{1 2}B = ^EpA ~ ^EpB = ~&Ep

energia potencjalna w punkcie A •    • energia

liczona względem zadanego punktu    potencjalna

odniesienia (]>oziomu zerowego)    w punkcie B

21.2 Związek między siłą a energią potencjalną

siła działająca na ciało    energia |K)tencjalna ciała

umieszczone w danym polu sil/		w danym polu sił
	-/ —> F = - grad E	p = - V Ep 1

\

gradient energii potencjalnej jest wektorem zdefiniowanym następująco

dt:_D <~K_P -> dEi

grad Ep = V E_p - i +

J +

k

22. Zasada zachowania energii w polu sił zachowawczych

¹ całkowita energia mechaniczna ciała w polu siły zachowawczej

^EC = E_u + E_f)A = E_kB + Ep_B = const

1

energia kinetyczna ciała ^{2    2} energia potencjalna ciała

2

pewnym punkcie A    w punkcie A

pola siły zachowawczej