str021

4$

Ponieważ fi" jest metryczną miarą zewnętrzną, więc

u’(A) > fi’[{A nF)U 4„] = n'{A nf) + ii^m(An) dla n € N. Stąd otrzymujemy, że

f(A)>f(AnF) + _fi’(A-F),

a zatem dowolny zbiór domknięty jest mierzalny. Stąd i z definicji er-ciala zbiorów borelowskich B wynika, że S C co oznacza, że dowolny zbiór borelowski jest mierzalny.    *    -

65.    Niech Ei, Ej będą takimi podzbiorami przestrzeni metrycznej A', że (>(E\, E-j) > 0. Niech G będzie takim zbiorem otwartym, że E\ C G, G fi E* = 0. Z założenia zbiór G jest /ł*-mierzalny, więc

H*{Ei U Ei) = fi‘{{Ei U JETo) O G) + /z*((£i U E₂) - G)

= p^m(Ei)U/i'(Ea).

Otrzymaliśmy, że /i' jest metryczną miarą zewnętrzną.

66.    Wskazówka: wykazać, że dla dowolnego zbioru A C X otoczką ^‘-mierzalną jest zbiór (X - A) U A o, gdzie Aq jest p*-mierzalną otoczką zbioru A n B.

67.    'Z założeń wynika, że dla dowolnego A C X i dowolnego n 6 H, Pn(A) < H"_n+l(A). Stąd wynika, że istnieje /z* = lim_n_oo/tń- Bezpośrednio z definicji p' otrzymujemy, że p'(0) = 0 i jeśli A C B, to p’(A) < p’{B). Z nierówności

Ma (U *)<!>;; (A) <f>* (At) dlangN

» = 1    : = 1    i=l

mamy, że

✓ (U*)

i=l    t=l

Udowodniliśmy, że p‘ jest miarą zewnętrzną.

Załóżmy teraz, że .4 i B są takimi podzbiorami X, że p(A,B) > 0. Zatem istnieje takie no € N, że p[A,B) > A dla dowolnego n > no. Dla dowolnego r> 0 i dowolnego n istnieje ciąg zbiorów {4„*}i,₆h taki, że A_nk e V„ dla teN i .4 U B C A_nk i 52^1 j T(A_ni) < /«* (4 UB) + r, Z warunku p(A, B) > U i określenia V„ wynika, że    ⁿ

00

/i* (4) + p‘_n(B) < Y, r(4_ni) < p"_n(A U B) + e. ł=i

Stąd wobec dowolności liczby e otrzymujemy

Pn(A) + p',(B) < ;t*(4 U B) dla dowolnego n g N.

A zatem fi'{A) + fi‘(B) < fi'(A U₍B). Ponieważ fi' jest miarą zewnętrzną, więc zachodzi równość fi“(A U B) — fi’(A) + ft’(B), co oznacza, że fi jest miarą zewnętrzną.

68.    Wskazówka: patrz rozwiązanie zadania 16.

69.    Wskazówka: skorzystać z zadań 67, 64, 68.

70.    Niech fi’_n(A) = inf {£~i r{Bi) : .4,- C (j£i Bi. B_{ 6 Pnj dla .4 C A' i n € N.

Połóżmy ul =.lim/t*. Ponieważ dla dowolnego n € N, V„ C V, więc zachodzi

r • '    • . r; '

(1)    P* < P*n < PS-

Z definicji fi’ wynika, że dla dowolnego zbioru .4 i dowolnego £ > 0 istnieje ciąg zbiorów {B,■},•£!! taki, że Bi ę.V,

Ac\J_Bi i f>(B₍)<P*(A) + |.

i=i    i=i

Z założenia wynika, że dla dowolnego n S K i dowolnego zbioru Bi € V istnieje ciąg zbiorów {BikjtEH, Bit 6 V_n talii, że

f>(B_ik)<r(B,)+ * .

t=i

a zatem

aw <    < f)r(fli)+ę < /mc.

(=1 Ł=1    i=l

Z dowolności liczby e > 0 wynika, że

fi'_n(A)<fi’[A) dla n £ M,

a stąd mamy
(2)	Po < P
Z (1) i (2) otrzymujemy
(3)	P^- = PÓ

Na podstawie zadania 67 miara zewnętrzna fi‘_Q jest metryczna, więc na podstawie (3) miara zewnętrzna fi’ jest metryczna.

71. Załóżmy, że .4 jest zbiorem mierzalnym. Przedział P jako zbiór borelowski jest też mierzalny (patrz zadanie 64), więc AD Pjest zbiorem mierzalnym.

Załóżmy teraz, że dla dowolnego przedziału P C IR¹, A Cl P jest zbiorem mierzalnym. Istnieje ciąg {£„}„_e!» przedziałów fc-wymiarowych taki, że = (J“=i ^pn-Stąd A = U”=iMⁿ B_n), więc A jest mierzalny.