Magazyn60601

602

LUDNOŚĆ

prawdopodobieństwo przeżycia roku dla osoby x-\ e t n i e j, czyli prawdopodobieństwo ukończenia x + /-go roku życia

(8)

(G)

P*-

/*+! h ‘

Funkcje te są ściśle ze sobą powiązane, spełniają bowiem równość

(<) *. + ?* = !■

Związki zachodzące pomiędzy funkcjami biometrycznemi powodują, że każda z czterech funkcyj pojedyńczo wzięta umożliwia obliczenie wszystkich pozostałych, wystarcza więc do scharakteryzowania przebiegu wymierania rozpatrywanej generacji. Bardziej subtelna i pogłębiona analiza wymaga jednakże wprowadzenia jeszcze pewnych dalszych funkcyj, bezpośrednio, zresztą, zależnych od poprzednio omówionych.

Rozpatrzmy naszą generację w chwili, w której składa się ona z osób liczących dokładnie x lat życia; liczebność jej wynosi wówczas l _x osób. W ciągu roku od tej chwili umiera d, = l_x — Z*+i osób. Zgony tych osób odbywają się w ciągu całego roku. Z dostatecznem przybliżeniem (poza najmłodszemi rocznikami) można założyć, że rozkład tych zgonów w ciągu roku jest równomierny. Ażeby więc obliczyć łączny czas, przeżyty w ciągu tego roku przez osoby zmarłe w tym roku, możemy przyjąć, że wszystkie zgony nastąpiły dokładnie w środku roku, t. zn. że każda z d_x osób zmarłych w tym roku przeżyła od początku roku dokładnie ¹/₂ roku. Razem więc osoby zmarłe w ciągu rozpatrywanego roku (liczące x lat ukończonych) przeżyją w tym roku ¹l_id_x lat. Z drugiej strony pozostają osoby, które przeżyły x -J- z rok życia; liczba ich wynosi naturalnie /,+ i i każda z nich przeżyła w rozpatrywanym roku dokładnie jeden rok, razem więc przeżyją one l_x+i lat. Łącząc razem oba składniki możemy powiedzieć, że cała generacja w ciągu x -(- /-go roku obserwacji przeżyje dokładnie

1 j ,,    /* + /*+1

2<Z* + Z*+t =-g-

lat. Powtarzając to rozumowanie dla każdego następnego roku życia otrzymamy wynik następujący:

Łączna liczba lat, przeżytych przez osoby wchodzące w skład naszej generacji poczynając od x-go roku życia wynosi

lx+lx+\ , /»+l+/»-H , /*+8+/«+3 , ^Łx 2 ⁺ 2 ⁺ 2 ⁺ 7,7    a»

Ł A »-i41

Obliczenie takie możemy naturalnie przeprowadzić dla każdego rocznika x, otrzymując w ten sposób nową funkcję biometryczną. Można ją interpretować, jako łączną liczbę lat, pozostających do przeżycia dla osób jr-letnich. Należy przytem zauważyć, że obliczenie nasze jest tem dokładniejsze, im bliższe prawdy jest założenie równomierności rozkładu zgonów osób jr-letnich w ciągu roku. Dla roczników najmłodszych, przedewszystkiem dla noworodków, założenie to jest dalekie od rzeczywistości. Odpowiednie składniki liczby T_x obarczone są więc dość dużym błędem. Jednakże dla małych wartości x, T_x składa się z bardzo wielu składników i wpływ tego błędu na wielkość T_x jest stosunkowo niewielki.

Jeżeli interpretujemy T_x jako łączną liczbę lat, które przeżyją wszystkie osoby wchodzące w skład naszej generacji, od chwili ukończenia przez nie x-tego roku życia, to dzieląc T_x przez liczebność osób jr-letnich, czyli przez l, otrzymamy przeciętną liczbę lat, jaka pozostaje jeszcze do przeżycia osobie Jf-letniej. Ta nowa funkcja biometryczna, wyraża się wzorem

Tx Iz + lz+i , lz+i+lz+2

(9)

Iz

2/*

+

2Iz

i 1°—¹— 1 i ^    £    /.

2Iz 2 ⁺lxi-z₊i'

Nazywa się ona przeciętnem dalszem trwaniem życia osoby letniej (mittlere Lebenserwarłung, mittlere Lebensdauer, me moyenne, esperance de vie, expectation of life). W szczególności wartość e_x dla x — o, czyli przeciętne trwanie życia noworodka, jest uważane za jedną z najważniejszych charakterystyk tablicy wymieralności, wyrażającą w postaci skróconej i sumarycznej (przy pomocy jednej liczby) ogólny poziom warunków umieralności: niska wartość przeciętnego trwania życia oznacza wysoki, nie korzystny poziom umieralności, wysoka wartość — przeciwnie. (W ostatnich latach skonstruowano kilka innych jeszcze miar „dobroci" tablicy wymieralności, których tu nie omawiamy ze względu na zbyt specjalny ich charakter).

Obok przeciętnego trwania życia noworodka używa się czasami prawdopodobnego