009

Pripomeńte si nynl vlastnosti sćitani a nasobeni realnych ćisel, ktere jsou uvedeny na str. 8 a 9; ukażeme, że stejne vlastnosti ma i sćitani a nasobeni ćisel komplexnich.

To, że soućet a soućin libovolnych dvou komplexnich ćisel je ćislo komplexni, plyne primo z definice techto operaci:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + 6i)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

To, że sćitani i nasobeni komplexnich ćisel je komutativni a aso-ciativni, si mużete snadno dokazat sami (viz ulohu 1.11); v techto dukazech se vyużiva toho, że je komutativm a asociatmu sćitani i nasobeni ćisel realnych. Uvcdeme na nkazku dukaz toho, że nasobeni komplexnich ćisel je distributivni vzhledem k jcjich sćitani, tj. że pro libovolna komplexni ćisla Z\, z-x, 23 plati zi(z₂ + 23) = z\z-2 + 2123. Polożme tedy zi = a + bi, z₂ = c + di, 23 = e + gi a porovnejme sou-ćin 21(22 + 23) se soućtem 2122 + 2123. Plati zrejme:

21(22 + 23) = (a + 6i)[(c + di) + (e + pi)] =

= (a + 6i)[(c + e) + (d + p)i] =

= [a(c + e) - b(d + p)] + [a(d + p) + b(c + e)] i =

= (ac + aa - bd - bg) + (od + op + bc + be) i 2122 + 2123 = (a + 6i)(c + di) + (a + bi)(e + pi) =

= [(ac — bd) + (ad + bc) i] + [(ae - bg) + (ag + be) i] =

= (ac + ae - bd — bg) + (ad + ag + bc + be) i

Je tedy 21 (22 + 23) = z\z₂ + 2123, coż znamena, że nasobeni komplexnich ćisel je distributivni vzhledem k jejich sćitani.

Ukażeme dale, że ke każdemu komplexnimu ćislu z = a + bi existuje ćislo z' — x + pi tak, że plati 2 + 2' = 0. Existuje-li tako veto ćislo 2', plati

(a + bi) + (x + pi) = (a. + x) + (b + p)i = 0,

odkud plyne

a + x = 0,    6 + p = 0,

coż znamena, że je

x — —a, y — —b.

Existuje-li tedy ćislo z' — x + y i uvedene vlastnosti, plati pro ne z' = —a — bi; zkouśkou se snadno presvedćime, że toto ćislo podminku z + z' — 0 opravdu splńuje.

Ćislo z' = —a — bi se nazyva opaćne ćislo k ćislu z = a + bi; plati pro ne z' — -z. Na zaklade dokażane vlastnosti, że ke każdemu komplexnimu ćislu existuje ćislo opaćne, se zavadi odćitani komplex-nich ćisel, a to stejnym zpusobem jako u ćisel realnych:

Rozdil z\ - 22 koinplexnich ćisel Z\, z? je soućet ćisła Zy a ćisla opaćneho ke komplexnimu ćislu 23: Zy — 22 = z\ + (-22).

Zbyva jeste overit, że ke każdemu komplexnimu ćislu 2 / 0 existuje jedine komplexni ćislo z' takove, że plati z • z' — 1; tuto vlast-nost ovefime aż v Ćlanku nasledujicim, kde se budeme zabyvat dćlenim komplexnich ćisel. Pred tim vśak jeśśtć ukażeme, że i pro soućin ćisel komplexnich plati duleżita vćta znania z oboru realnych ćisel:

Je-li soućin dvou komplexnich ćisel roven nule, je rovno nule aspoń jedno z nich.

Predpokladejme, że pro komplexni ćisla z\ — a + bi, z% — c + di je zi ■ Z2 — (a + bi)(c + di) = 0.

Z definice rovnosti komplexnich ćisel odtud plyne ac — bd = 0, ad + bc = 0.

Vynasobenim prvni z tćchto rovnosti ćislem c, druhe ćislem d a jejich sećtenim dostaneme

a (c² + di²) = 0.

Protoże ćisla a, <? + d² jsou realna, plyne odtud, że je aspoń jedno z nich rovno nule. Je-li c² + d² = 0, pak je c — d = 0, neboli z-2 — c + di - 0. Je-li a = 0, pak z rovnic ac — bd — 0, ad + bc — 0 plyne, że je bd = 0, bc = 0; to vśak znamena, że je 6 = 0 (także je

17