0167

169

§ 2. Pole i objętość

Z równania hiperboli mamy y — — f/x²—a² i oznaczając przez |Pj| pole figury A KM w myśl

a '

wzoru (7) jest

|J*.I

= AJ j/jc 2-a² dx = A j^i- _x y_x² - a² - -j- ln (x+ y'x²-a² )Jj* =

= A _xv— J*!L . in x+ y/x²—a² 2*2    a

Ponieważ

. ]/x²—

T - ’_

o y

— = -r-»więc wyrażeniu temu można nadać bardziej symetryczną postać a    b

Stąd łatwo już otrzymujemy pole |P₂| figury O AM i pole |P₃| figury OAML:

Uwaga. Otrzymany wynik umożliwia nam pewne pogłębienie analogii między funkcjami trygonometrycznymi (kołowymi) i hiperbolicznymi. Rozważmy koło x²+y² = 1 o promieniu 1 i hiperbolę równoboczną x²—y² = 1 (rys. 23 a i b). Równania parametryczne tych krzywych są następujące:

równanie kola:    OP — x = cos /, PM = y sin /,

równanie hiperboli: OP = x = cosh t, PM = v sinh t.

Rys. 23

O ile w przypadku koła rola parametru / jest jasna-jest on równy kątowi AOM, to dla hiperboli nie jest możliwa taka interpretacja parametru liczbowego /. Można jednakże dać inną interpretację parametru t w przypadku koła, a mianowicie: / jest równe podwojonemu polu wycinka AOM (lub polu wycinka M'OM). Okazuje się, że ta interpretacja przenosi się na hiperbolę.

Rzeczywiście, ponieważ

ć+e~

x — cosh t =

y = sinh t — ■

więc x+y — e* i / = ln (x+y). Jeśli we wzorze na |P₂| podstawić a *= b = 1, to okazuje się, że / jest równe podwojonemu polu wycinka AOM (tak samo, jak dla koła).