0275

277

§ 4. Własności szeregów zbieżnych

(8)

lub

(9)

Qib₂,a₂bi‘, aib₃, a₂b₂, a₃bi\ ...

^aibi\ a_kb₂, a₂b₂, a₂bi‘, a_kb₃, a₂b₃, a₃b₃, a₃b₂, a₃b_k\

Utworzony z takich ciągów szereg nazywa się iloczynem szeregów (A) i (B). Twierdzenie Cauchy’ego. Jeżeli obydwa szeregi (A) i (B) są zbieżne bezwzględnie, to ich iloczyn utworzony z iloczynów (7) wziętych w dowolnym porządku jest także zbieżny i ma sumę równą iloczynowi stan AB.

Dowód. Z założenia szeregi 00

(A*)    ^]l«nl = |flll + l*2l+ - +|a„|+ ...

«—1

(B*)    = \bA + \b₂\ + ... +IW+ ...

m-1

są zbieżne, tzn. mają skończone sumy A* i B*.

Ustawiwszy iloczyny (7) w ciąg, w jakikolwiek sposób, utworzymy z nich szereg

00

(10)    ^ dis bis = a_h b_kl+a_lx b_kx+ ... +a_ls 6*,+ —

5—1

Aby udowodnić zbieżność odpowiedniego szeregu wartości bezwzględnych

00

(11)    = \ot, b_kl\ + \a_tl ó*j|+ ... +|ni*btol+ .... ,

rozpatrzymy jego j-tą sumę częściową. Jeśli oznaczymy przez v największy ze wskaźników

r i, Ai, i₂, k₂.....i_s, k_s, to będzie oczywiście

\a_llb_ki\ + \a_l2b_kx\ + ... + \a_t,b_la\^(\a₁\ + \a₂\ + ... + \a_v\)(\b_i\ + \b₂\ + ... + \b_v\)^A*B*.

Stąd wynika [365] zbieżność szeregu (11), a zatem bezwzględna zbieżność szeregu (10).

Pozostaje wyznaczyć jego sumę. Mamy prawo nadać wyrazom szeregu (10) wygodniejszy porządek, bo szereg ten — jako zbieżny bezwzględnie — ma własność przemienności [387]. Uporządkujemy wyrazy według kwadratów, jak w (9), i połączymy kolejne grupy, którymi następny kwadrat różni się od poprzedniego; otrzymamy

(12)    tt_kb_k+(^1^2•i-a₂b₂ "b®j^i)"ł"(®i^3 ~i~ti₂b₃ + a₃b₃ + a₃b₂+U3&i)+ ...

Jeśli przez A_m i B_m oznaczymy, jak zwykle, sumy częściowe szeregów (A) i (B), to sumy częściowe szeregu (12) będą równe

Ai B_k, A₂B₂, A₃B₃, ..., A_kB_k, ...

i dążą zatem do iloczynu AB, który jest wobec tego sumą zarówno szeregu (12) jak i szeregu (10).