0271

273

§ 4. Własności szeregów zbieżnych

Zestawiając ze sobą te dwie nierówności otrzymujemy potrzebną nam równość A' — A. (b) Niech teraz (A) będzie dowolnym szeregiem bezwzględnie zbieżnym.

Ponieważ zbieżny szereg o wyrazach nieujemnych

00

(A*)    — |flil + |fl2l+ ••• +l«*l+ •••

n=l

zachowuje, zgodnie z udowodnionym wyżej, zbieżność przy przestawieniach wyrazów, zatem na mocy twierdzenia z ustępu 377 zachowa przy tym bezwzględną zbieżność także i szereg (A).

Widzieliśmy dalej w 377, że w przypadku bezwzględnej zbieżności szeregu (A) suma jego ma kształt

A -P-Q,

gdzie P i Q są odpowiednio sumami szeregów dodatnich

00

(P)    2*

k-1

(Q)

m=l

utworzonych odpowiednio z dodatnich wyrazów i z wartości bezwzględnych ujemnych wyrazów szeregu (A).

Przestawienie wyrazów w szeregu (A) wywoła przestawienie wyrazów w każdym z tych szeregów, nie odbije się to jednak (według tego, co już udowodniliśmy) na sumach P i Q, a zatem suma szeregu (A) pozostanie bez zmiany, c.b.d.o.

388. Przypadek szeregów zbieżnych warunkowo. Przejdziemy teraz do rozpatrzenia szeregów zbieżnych warunkowo i wykażemy, że nie są one przemienne — w każdym takim szeregu odpowiednia permutacja wyrazów zmienia sumę szeregu, a nawet może zepsuć zbieżność.

Załóżmy, że szereg (A) jest zbieżny, ale nie bezwzględnie. Ze zbieżności szeregu wynika, że lim a_H = 0 [364, 4°]. Natomiast szeregi (P) i (Q), o których wspominaliśmy w poprzednim ustępie, są oba rozbieżne chociaż jest oczywiście

(2)    lim p_k = 0 i lim ą_m = 0.

k-oo    m~*oo

Rzeczywiście, zachodzą równości

(3)    A-Ą-CU. A* = P_k+Q_m.

gdzie k oznacza liczbę dodatnich, a m ujemnych wyrazów wchodzących w skład pierwszych n wyrazów szeregu (A). Podkreślamy, że spośród trzech liczb rt, k, m tylko pierwszą możemy wybrać dowolnie; dwie pozostałe są do niej dobrane. Ze zbieżności jednego z szeregów (P) lub (Q) wynikałaby — z uwagi na pierwszą z równości (3) — zbieżność drugiego,

U Rachunek różniczkowy