0273

275

§ 4. Własności szeregów zbieżnych

Otrzymany wynik podkreśla ten fakt, że warunkowa zbieżność realizuje się tylko dzięki wzajemnemu wygaszaniu się wyrazów dodatnich i wyrazów ujemnych i dlatego zależy istotnie od porządku, w jakim wyrazy te następują po sobie, natomiast zbieżność bezwzględna opiera się na szybkości malenia tych wyrazów i od porządku nie zależy.

Przykłady. 1) Rozpatrzmy szereg

(4)

T+-

1

2k-\

zbieżny na pewno tylko warunkowo, którego suma, jak łatwo wykazać [patrz 2)], wynosi In 2.

Poprzestawiamy wyrazy w ten sposób, by po jednym wyrazie dodatnim następowały dwa ujemne; otrzymamy

(5)

.. +

1

2/fc—1

1

4k—2

_1_ 4k

+ ...

Twierdzimy, że przez takie przestawienie suma szeregu zmniejszyła się dwukrotnie.

Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy sumy częściowe tych dwóch szeregów odpowiednio przez A, i A'„ to będzie

Ś (i£r -    ~«) * Ż («h - ~k) ~

Jtarl    fc-1

fc-1

a więc -» -i- ln 2. Ponieważ

“■    —— i A'_2m-₂ “ A'₃„-₂+-——r-.

4 m    4m—2

dąży do tej samej granicy -y In 2, szereg (5) jest zbieżny i ta liczba jest jego sumą.

2) Ogólniejszy wynik można otrzymać wychodząc z wzoru na sumę częściową H_m szeregu harmonicznego [367, (4)]

//„- 1+4-+ ...+ — = In n+C+y,,

2    n

gdzie C jest stalą Eulera, a y, -*■ 0. Stąd mamy przede wszystkim

I

2 m

H_m = yln «» +

1+ 4- +    ■+    ~ H_2k-^-H_k = ln 2+ In fc-f -i- C+y_2k—Ą-y_k .

3    2k — 1    2    2    2    2

Uporządkujmy teraz wyrazy szeregu (4) w sposób następujący: umieścimy najpierwp wyrazów dodatnich, potem q ujemnych, potem znowu p dodatnich i znowu q ujemnych itd. Aby obliczyć sumę szeregu

. , I ,    ,    1    1 ___La, i ,    ,__1___1

O    + j -b ••• + 2p_i ₂    2q ⁺ 2p+\ ⁺ "*■** 4p-l 2ę+2 będzie nam wygodniej połączyć kolejne grupy p lub q wyrazów. Suma częściowa A_2m otrzymanego w ten sposób szeregu jest równa

A_lm — ln

+«.

(*, -»4)),

18*